(a) A função f: R+ R definida por f(x)=ln xx, é sempre decrescente.

Passo 1

O enunciado apresenta a função f:R+toR dada por f(x)=ln xx e pergunta se ela é sempre decrescente. O conteúdo envolve derivada de função real e teste de monotonicidade, então vamos usar cálculo de derivada e analisar seu sinal.

Passo 2

Para estudar monotonicidade, calculamos a derivada f'(x). Usando a regra do quociente, temos
f'(x)=(1/x)cdot x - ln xcdot 1x^2=1-ln xx^2

Passo 3

Agora analisamos o sinal de f'(x)=1-ln xx^2. Como x^2>0 para todo x>0, o sinal de f'(x) é o mesmo de 1-ln x. Logo:
  • Se ln x<1, ou seja x, então 1-ln x>0 e f'(x)>0, ou seja f é crescente em (0,e).
  • Se ln x>1, ou seja x>e, então 1-ln x<0 e f'(x)<0, ou seja f é decrescente em (e,infty).

Passo 4

Portanto, a função não é sempre decrescente: ela cresce para 0 e decresce para x>e.

Resposta

A função não é sempre decrescente: ela é crescente em (0,e) e decrescente em (e,infty).

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