(a) A função
definida por
, é sempre decrescente.
Passo 1
O enunciado apresenta a função
dada por
e pergunta se ela é sempre decrescente. O conteúdo envolve derivada de função real e teste de monotonicidade, então vamos usar cálculo de derivada e analisar seu sinal.
Passo 2
Para estudar monotonicidade, calculamos a derivada
. Usando a regra do quociente, temos
Passo 3
Agora analisamos o sinal de
. Como
para todo
, o sinal de
é o mesmo de
. Logo:
- Se
, ou seja , então e , ou seja é crescente em . - Se
, ou seja , então e , ou seja é decrescente em .
Passo 4
Portanto, a função não é sempre decrescente: ela cresce para
e decresce para
.
Resposta
A função não é sempre decrescente: ela é crescente em
e decrescente em
.