b) 
 . Estime o valor de 
 . Sugestão: Derive 
 .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para estimar o valor de 
  usando a função 
 . Vamos resolver isso passo a passo, usando derivadas para fazer essa estimativa.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é 
 . A função 
  é chamada de arco seno hiperbólico e é definida como 
 . Isso significa que para calcular 
 , estamos basicamente procurando o valor de 
 .
Passo 3
Como a questão sugere, vamos derivar a função 
 . A derivada de 
  nos ajuda a aproximar o valor de 
  perto de um ponto conhecido. Vamos calcular 
 .
Passo 4
Para derivar 
 , usamos a regra da cadeia. A derivada de 
  é 
 , onde 
 .
Então:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão da derivada:
Multiplicando o numerador e o denominador por 
 , temos:
Simplificando ainda mais:
Passo 6
Agora que temos a derivada 
 , podemos usar uma aproximação linear para estimar 
 . Vamos usar o ponto 
 , onde sabemos que 
 .
A aproximação linear é dada por:
Passo 7
Calculando 
 :
Então:
Resposta
A estimativa de 
  é aproximadamente 
 .