f) 
  onde 
  e 
 .
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: 
  com as condições iniciais 
  e 
 . Esse tipo de problema está relacionado ao estudo de equações diferenciais lineares de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação e depois ajustar com as condições iniciais para achar a solução específica.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é 
 . Isso significa que ignoramos o termo 
  temporariamente e resolvemos 
 .
Passo 3
Para resolver 
 , encontramos a equação característica. Assumimos uma solução do tipo 
 , então substituímos na equação:
Como 
  nunca é zero, temos 
 , ou seja, 
 .
Passo 4
Com as raízes 
 , a solução geral da equação homogênea é:
onde 
  e 
  são constantes que vamos determinar mais tarde.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa 
 . Como o lado direito é um polinômio de primeiro grau (
 ), vamos supor uma solução do tipo 
 , onde 
  e 
  são constantes a serem encontradas.
Passo 6
Calculamos as derivadas de 
 :
Substituindo na equação original:
Isso nos dá:
Comparando os termos, temos:
Portanto, a solução particular é 
 .
Passo 7
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a particular:
Passo 8
Agora, aplicamos as condições iniciais para determinar 
  e 
 .
Primeira condição: 
Segunda condição: 
Primeiro, encontramos a derivada geral:
Aplicando 
 :
Resposta
Com 
  e 
 , a soluç��o da equação diferencial é: