k) 
  onde 
  e 
 .
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial 
  com as condições iniciais 
  e 
 . O conteúdo que vamos usar aqui é Equações Diferenciais Ordinárias de Segunda Ordem, e vamos precisar aplicar séries de potências para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para simplificar:
Isso ajuda a deixar a equação em uma forma mais manejável.
Passo 3
Agora, vamos supor que a solução 
  pode ser escrita como uma série de potências em torno de 
 :
Onde 
  são os coeficientes que precisamos encontrar.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de 
 :
Passo 5
Substituímos 
 , 
  e 
  na equação diferencial:
Passo 6
Vamos ajustar os índices das somas para que todas tenham 
 :
Para a segunda soma, mudamos a variável para que todas as potências sejam 
 :
Passo 7
Agora, combinamos todas as somas:
Simplificando os termos dentro da soma:
Passo 8
Isso nos dá uma relação de recorrência para os coeficientes 
 :
Passo 9
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar os primeiros coeficientes:
- Para 
:  
- Para 
:  
Passo 10
Usando a relação de recorrência, vamos encontrar alguns coeficientes:
- Para 
:  
- Para 
:  
E assim por diante. Observamos que os coeficientes de ordem ímpar são zero (
 ).
Passo 11
Assim, a solução pode ser escrita como:
Resposta
A solução da equação diferencial é dada pela série de potências: