1. A=(3,1) ; B=\left(-\frac{3}{2}, \frac{5}{2}\right) : Calcule a equação vetorial da reta que passa pelo ponto médio de \overline{A B} e seja ortogonal a este segmento

Passo 1

O enunciado dá dois pontos no plano:
  • A=(3,1)
  • B=\left(-\dfrac{3}{2},\dfrac{5}{2}\right)
O que o problema pede:
  • Calcular a equação vetorial da reta que passa pelo ponto médio do segmento \overline{AB} e que seja ortogonal a esse segmento.
Informações relevantes que vamos usar (sem resolver ainda):
  • Para achar o ponto médio de A e B usa-se a fórmula do ponto médio.
  • Para encontrar a direção do segmento \overline{AB} usa-se o vetor \overrightarrow{AB}=B-A.
  • Uma reta ortogonal a \overline{AB} precisa ter um vetor diretor perpendicular a \overrightarrow{AB}; vetores são perpendiculares quando seu produto escalar (dot product) é zero.

Passo 2

Calcular o ponto médio usando a fórmula e explicando a fórmula certinho.
Fórmula do ponto médio: se A=(x_A,y_A) e B=(x_B,y_B), então o ponto médio M é
M=\left(\dfrac{x_A+x_B}{2},\dfrac{y_A+y_B}{2}\right).
Aqui x_A, y_A são as coordenadas de A e x_B, y_B as de B.
Aplicando aos valores dados:
x_A=3,\qquad x_B=-\dfrac{3}{2},
y_A=1,\qquad y_B=\dfrac{5}{2}.
Calculando as coordenadas de M:
x_M=\dfrac{3 + \left(-\dfrac{3}{2}\right)}{2}=\dfrac{\dfrac{6}{2}-\dfrac{3}{2}}{2}=\dfrac{\dfrac{3}{2}}{2}=\dfrac{3}{4},
y_M=\dfrac{1 + \dfrac{5}{2}}{2}=\dfrac{\dfrac{2}{2}+\dfrac{5}{2}}{2}=\dfrac{\dfrac{7}{2}}{2}=\dfrac{7}{4}.
Logo o ponto médio é M=\left(\dfrac{3}{4},\dfrac{7}{4}\right).

Passo 3

Encontrar o vetor diretor de \overline{AB} e explicar como obter um vetor perpendicular.
Definição: o vetor \overrightarrow{AB} é dado por
\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A,\;y_B-y_A).
Calculando:
\overrightarrow{AB}=\left(-\dfrac{3}{2}-3,\;\dfrac{5}{2}-1\right)=\left(-\dfrac{9}{2},\;\dfrac{3}{2}\right).
Esse vetor pode ser simplificado fatorando \dfrac{3}{2}:
\overrightarrow{AB}=\dfrac{3}{2}(-3,1).
Agora: regra prática para obter um vetor perpendicular. Se v=(a,b), então um vetor perpendicular é (-b,a) (ou (b,-a)); ambos têm produto escalar zero com v.
Aplicando a (-3,1), um perpendicular é
d = (1,3)
porque (-3,1)\cdot(1,3) = -3\cdot1 + 1\cdot3 = 0.
Portanto d=(1,3) é um vetor diretor para a reta que queremos (é perpendicular a \overrightarrow{AB}).

Passo 4

Montar a equação vetorial da reta passando por M com direção d, explicando o formato.
Forma vetorial (padrão): se \mathbf{r}_0 é o vetor posição de um ponto da reta e d é um vetor diretor, a equação vetorial da reta é
\mathbf{r}=\mathbf{r}_0 + t\,d,\qquad t\in\mathbb{R},
onde \mathbf{r} é o vetor posição genérico de um ponto qualquer da reta e t é o parâmetro real.
Aqui \mathbf{r}_0 é a posição de M, ou seja \left(\dfrac{3}{4},\dfrac{7}{4}\right), e d=(1,3). Substituindo:
\mathbf{r}=\left(\dfrac{3}{4},\dfrac{7}{4}\right)+t(1,3),\qquad t\in\mathbb{R}.
Também, de forma paramétrica, isso equivale a
\begin{cases} x=\dfrac{3}{4}+t,\\[6pt] y=\dfrac{7}{4}+3t. \end{cases}]

Passo 5

Verificações rápidas (para ter confiança na resposta).
  1. A reta passa por M quando t=0: \left(\dfrac{3}{4},\dfrac{7}{4}\right). OK.
  2. O vetor diretor escolhido é perpendicular a \overrightarrow{AB}:
\overrightarrow{AB}\cdot d = \left(-\dfrac{9}{2},\dfrac{3}{2}\right)\cdot(1,3) = -\dfrac{9}{2}\cdot1 + \dfrac{3}{2}\cdot3 = -\dfrac{9}{2} + \dfrac{9}{2} = 0,
ou seja, são ortogonais. OK.
Como tudo confere, a equação encontrada está correta.

Resposta

\mathbf{r}=\left(\dfrac{3}{4},\dfrac{7}{4}\right)+t(1,3),\\ t\in\mathbb{R}

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