A=(3,1) ; B=\left(-\frac{3}{2}, \frac{5}{2}\right) : Calcule a equação vetorial da reta que passa pelo ponto médio de \overline{A B} e seja ortogonal a este segmento
Passo 1
O enunciado dá dois pontos no plano:
A=(3,1)
B=\left(-\dfrac{3}{2},\dfrac{5}{2}\right)
O que o problema pede:
Calcular a equação vetorial da reta que passa pelo ponto médio do segmento \overline{AB} e que seja ortogonal a esse segmento.
Informações relevantes que vamos usar (sem resolver ainda):
Para achar o ponto médio de A e B usa-se a fórmula do ponto médio.
Para encontrar a direção do segmento \overline{AB} usa-se o vetor \overrightarrow{AB}=B-A.
Uma reta ortogonal a \overline{AB} precisa ter um vetor diretor perpendicular a \overrightarrow{AB}; vetores são perpendiculares quando seu produto escalar (dot product) é zero.
Passo 2
Calcular o ponto médio usando a fórmula e explicando a fórmula certinho.
Fórmula do ponto médio: se A=(x_A,y_A) e B=(x_B,y_B), então o ponto médio M é
Esse vetor pode ser simplificado fatorando \dfrac{3}{2}:
\overrightarrow{AB}=\dfrac{3}{2}(-3,1).
Agora: regra prática para obter um vetor perpendicular. Se v=(a,b), então um vetor perpendicular é (-b,a) (ou (b,-a)); ambos têm produto escalar zero com v.
Aplicando a (-3,1), um perpendicular é
d = (1,3)
porque (-3,1)\cdot(1,3) = -3\cdot1 + 1\cdot3 = 0.
Portanto d=(1,3) é um vetor diretor para a reta que queremos (é perpendicular a \overrightarrow{AB}).
Passo 4
Montar a equação vetorial da reta passando por M com direção d, explicando o formato.
Forma vetorial (padrão): se \mathbf{r}_0 é o vetor posição de um ponto da reta e d é um vetor diretor, a equação vetorial da reta é