1. Plano : x-y+z-1=0 Calcule o ponto P(x, y, z) no plano e tal que o vetor 0 P seja ortogonal ao plano.

Passo 1

O enunciado nos dá o plano \,x-y+z-1=0. A tarefa é encontrar um ponto P(x,y,z) que satisfaça duas condições simultâneas:
  • P pertence ao plano \,x-y+z-1=0.
  • O vetor \,0P (ou seja, o vetor que vai da origem O=(0,0,0) até P) é ortogonal ao plano.
Lista das informações relevantes:
  • Equação do plano: \;x-y+z-1=0.
  • Queremos um ponto P no plano tal que o vetor \,0P seja ortogonal ao plano.

Passo 2

Entender o que significa “vetor \,0P ser ortogonal ao plano”.
Para um plano dado por \,ax+by+cz+d=0, o vetor normal ao plano é \,(a,b,c). Esse vetor é ortogonal a todo vetor contido no plano. Portanto, um vetor é ortogonal ao plano exatamente quando ele é paralelo ao vetor normal \,(a,b,c).
Aplicando ao nosso caso: a equação \,x-y+z-1=0 tem coeficientes a=1, b=-1, c=1. Logo o vetor normal é
\mathbf{n} = (1,-1,1).
Dessa forma, exigir que \,0P seja ortogonal ao plano é o mesmo que exigir que \,0P seja paralelo a \mathbf{n}; ou seja, existe um escalar t tal que
\overrightarrow{0P} = t\,\mathbf{n}.

Passo 3

Escrever as coordenadas de P em função de t.
Como \overrightarrow{0P}=P-(0,0,0)=P=(x,y,z), a condição \overrightarrow{0P}=t(1,-1,1)
(x,y,z) = (t,-t,t).
Portanto x=t, y=-t e z=t.

Passo 4

Impor que P pertence ao plano: substituir x=t, y=-t, z=t na equação do plano e resolver para t.
Substituindo,
x-y+z-1 = t - (-t) + t - 1 = t + t + t -1 = 3t - 1.
Como P deve satisfazer a equação do plano, tem-se
3t - 1 = 0.
Logo
t = \tfrac{1}{3}.

Passo 5

Calcular as coordenadas de P substituindo t=\tfrac{1}{3} em (t,-t,t). Assim
P = \left(\tfrac{1}{3}, -\tfrac{1}{3}, \tfrac{1}{3}\right).
Verificação rápida (opcional, mas boa prática): substituir estas coordenadas na equação do plano:
\left(\tfrac{1}{3}\right)-\left(-\tfrac{1}{3}\right)+\left(\tfrac{1}{3}\right)-1 = \tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{3}-1 = 1-1=0,
portanto P está no plano. E como \overrightarrow{0P}=\tfrac{1}{3}(1,-1,1), o vetor \overrightarrow{0P} é paralelo ao vetor normal (1,-1,1), logo é ortogonal ao plano — condição satisfeita.

Resposta

P\!\left(\tfrac{1}{3},-\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{3}\right)

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