Dados os pontos A(1,0,0) ; B(0,2,0) ; C(0,0,2)
(a) Calcule a área do triângulo que tem esses pontos como vértices

Passo 1

O enunciado dá três pontos no espaço:
  • A(1,0,0)
  • B(0,2,0)
  • C(0,0,2)
O que é pedido:
  • Calcular a área do triângulo com vértices em A, B e C.

Passo 2

Escolha do método (explicação breve e motivo): vou usar vetores e produto vetorial (cross product). Motivo: para um triângulo com vértices A, B, C a área pode ser obtida por
\text{área}=\tfrac{1}{2}\,\big\|\,\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\,\big\|.á
Essa fórmula é direta e exige apenas subtração de coordenadas, cálculo do produto vetorial e norma — operações simples de fazer à mão. (Alternativa seria usar distâncias e fórmula de Heron; eu comento essa alternativa depois como verificação.)

Passo 3

Formar os vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC} por subtração de coordenadas. Lembrete rápido: se P(x_1,y_1,z_1) e Q(x_2,y_2,z_2), então \overrightarrow{PQ}=(x_2-x_1,\;y_2-y_1,\;z_2-z_1).
Aplicando isso:
\overrightarrow{AB}=B-A=(0-1,\;2-0,\;0-0)=(-1,\;2,\;0),
\overrightarrow{AC}=C-A=(0-1,\;0-0,\;2-0)=(-1,\;0,\;2).

Passo 4

Definição e cálculo do produto vetorial. Lembrete: o produto vetorial \mathbf{u}\times\mathbf{v} de \mathbf{u}=(u_1,u_2,u_3) e \mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3) é o vetor
\mathbf{u}\times\mathbf{v}=\big(u_2v_3-u_3v_2,\;u_3v_1-u_1v_3,\;u_1v_2-u_2v_1\big),
que também pode ser lembrado pela determinante
\mathbf{u}\times\mathbf{v}= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\[4pt] u_1 & u_2 & u_3 \\[4pt] v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix}.
Aqui \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k} são os vetores de base (componentes canônicas).]

Passo 5

Aplicando a fórmula ao caso \overrightarrow{AB}=(-1,2,0) e \overrightarrow{AC}=(-1,0,2):
Calcule cada componente:
(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC})_1 = 2\cdot2 - 0\cdot0 = 4,
(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC})_2 = 0\cdot(-1) - (-1)\cdot2 = 0 - (-2) = 2,
(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC})_3 = (-1)\cdot0 - 2\cdot(-1) = 0 - (-2) = 2.
Portanto
\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(4,\;2,\;2).

Passo 6

Agora a norma (magnitude) do vetor (4,2,2). Lembrete: para \mathbf{w}=(w_1,w_2,w_3),
\|\mathbf{w}\|=\sqrt{w_1^2+w_2^2+w_3^2}.
Aqui:
\big\|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\big\|=\sqrt{4^2+2^2+2^2}=\sqrt{16+4+4}=\sqrt{24}.
Simplificando \sqrt{24}=\sqrt{4\cdot6}=2\sqrt{6}.

Passo 7

Aplicar a fórmula da área do triângulo:
\text{área}=\tfrac{1}{2}\,\big\|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\big\| =\tfrac{1}{2}\cdot 2\sqrt{6}=\sqrt{6}.á
Então a área do triângulo é \sqrt{6}.

Passo 8

Verificação via método alternativo (fórmula de Heron) — uma checagem útil:
  • Comprimentos dos lados:
|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(-1)^2+2^2+0^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5},
|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{(-1)^2+0^2+2^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5},
|\overrightarrow{BC}|=\sqrt{(0-0)^2+(2-0)^2+(0-2)^2}=\sqrt{0+4+4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}.
Semiperímetro
s=\tfrac{1}{2}\big(\sqrt{5}+\sqrt{5}+2\sqrt{2}\big)=\sqrt{5}+\sqrt{2}.
Fórmula de Heron:
\text{área}=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} =\sqrt{(\sqrt{5}+\sqrt{2})(\sqrt{2})(\sqrt{2})(\sqrt{5}-\sqrt{2})}.á
Agrupando,
\text{área}=\sqrt{(\sqrt{5}+\sqrt{2})(\sqrt{5}-\sqrt{2})\cdot (\sqrt{2})^2} =\sqrt{(5-2)\cdot 2}=\sqrt{6},á
o que confirma o resultado anterior.

Resposta

\sqrt{6}

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