1. B. Mostre que a convergência de uma série nāo é afetada pela modificação de um número finito de seus termos, (Naturalmente, a soma pode se modificart)

Passo 1

Vou deixar claro o que o problema pede e o que temos disponível.
  • O que o enunciado pede: mostrar que alterar um número finito de termos de uma série não muda o fato de ela convergir (ou divergir). Em outras palavras, se uma série converge e se altera só finitamente muitos termos, a nova série também converge; e o contrário também vale. A soma total pode mudar, porém a propriedade “convergir” não.
  • Informação dada (formalização da hipótese): existem duas sequências (a_n) e (b_n) tais que apenas um número finito de índices n tem a_n\neq b_n. Isso significa que existe um inteiro N tal que a_n = b_n \quad\text{para todo } n > N.

Passo 2

Relembrando a definição que vamos usar (sem pular etapas).
  • Uma série \sum_{n=1}^\infty a_n é por definição a sequência dos somatórios parciais A_m=\sum_{n=1}^m a_n.Dizemos que a série converge se a sequência (A_m)_{m\ge1} tem limite finito quando m\to\infty. O valor desse limite é a soma da série.
  • Mesma coisa para \sum_{n=1}^\infty b_n com somatórios parciais B_m=\sum_{n=1}^m b_n.

Passo 3

Usar a hipótese "iguais a partir de N+1" para relacionar os somatórios parciais.
  • Pelas hipóteses, existe N com a_n=b_n para todo n>N.
  • Para qualquer m>N podemos escrever B_m separando os primeiros N termos: B_m=\sum_{n=1}^m b_n=\sum_{n=1}^N b_n + \sum_{n=N+1}^m b_n.Como b_n=a_n para n>N, a segunda soma é igual a \sum_{n=N+1}^m a_n. Portanto B_m=\sum_{n=1}^N b_n + \sum_{n=N+1}^m a_n.

Passo 4

Expressar B_m em termos de A_m e uma constante (isso é a chave).
  • Note que A_m=\sum_{n=1}^m a_n=\sum_{n=1}^N a_n + \sum_{n=N+1}^m a_n.
  • Subtraindo as duas expressões ou reorganizando, para todo m>N obtemos B_m = A_m + \underbrace{\left(\sum_{n=1}^N b_n - \sum_{n=1}^N a_n\right)}_{=:C},onde C é uma constante (depende só dos primeiros N termos, não de m).

Passo 5

Concluir a equivalência de convergência usando o fato de que uma sequência somada a uma constante converge se, e somente se, a sequência original converge.
  • Suponha primeiro que \sum_{n=1}^\infty a_n converge. Então \lim_{m\to\infty} A_m existe e é finito; como B_m=A_m+C para todo m>N, toma-se limite e obtém-se \lim_{m\to\infty} B_m = \lim_{m\to\infty} (A_m+C) = \lim_{m\to\infty} A_m + C,que é finito. Logo \sum_{n=1}^\infty b_n converge.
  • Reciprocamente, se \sum_{n=1}^\infty b_n converge então a mesma relação com sinal trocado mostra que \sum_{n=1}^\infty a_n converge (basta escrever A_m=B_m-C para m>N e tomar limite).
  • Portanto a propriedade “convergir” é preservada quando se modificam apenas finitamente muitos termos.

Passo 6

Comentário sobre a soma (valor) das séries.
  • Como visto, as somas podem mudar: se \sum a_n converge com soma S_a, então \sum b_n converge com soma S_b = S_a + C,onde C=\sum_{n=1}^N (b_n-a_n) é a soma (fita finita) das diferenças nos primeiros N termos. Ou seja, só muda por uma constante (a soma finita das modificações).

Resposta

Sejam (a_n) e (b_n) tais que existe N com a_n=b_n para todo n>N. Definindo A_m=\sum_{n=1}^m a_n e B_m=\sum_{n=1}^m b_n, tem-se para m>N que B_m=A_m+C com C=\sum_{n=1}^N(b_n-a_n). Assim \sum a_n converge se, e só se, \sum b_n converge; as somas diferem pelo número finito C.

Exercícios relacionados