Seja \Sigma\left(a_{n}\right) uma série dada e \Sigma\left(b_{n}\right) uma série em que os termos sáo os mesmos que os de \Sigma\left(a_{n}\right), a menos da omissão daqueles para os quais a_{n}=0. Mostre que \Sigma\left(a_{n}\right) converge para um número A se e somente se \Sigma\left(b_{n}\right) converge para A.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede.
Dá uma série \Sigma(a_n) com termos a_1,a_2,a_3,\dots.
Dá outra série \Sigma(b_n) cujos termos são exatamente os mesmos de \Sigma(a_n) exceto que foram omitidos todos os termos para os quais a_n=0. Ou seja, a sequência (b_n) é obtida de (a_n) retirando os termos nulos, preservando a ordem dos restantes.
Pede para mostrar: \Sigma(a_n) converge para um número A se e somente se \Sigma(b_n) converge para A.
Informações relevantes listadas:
A definição de convergência de uma série usada será a clássica: a série \Sigma(a_n) converge para A se a sequência das somas parciais S_k=\sum_{n=1}^{k}a_n converge para A. O mesmo para \Sigma(b_n) com somas parciais T_m=\sum_{j=1}^{m}b_j.
A relação entre os termos a_n e b_n: cada b_j é igual a algum a_{n} com a_n\neq0, e os índices correspondentes são crescentes.
Passo 2
Definições e notação (aula rápida): somas parciais e convergência de série.
Defina para \Sigma(a_n) a soma parcial
S_k=\sum_{n=1}^{k} a_n.
A série \Sigma(a_n) converge para A exatamente quando
\lim_{k\to\infty} S_k = A.
Para \Sigma(b_n) defina a soma parcial
T_m=\sum_{j=1}^{m} b_j.
A série \Sigma(b_n) converge para A exatamente quando
\lim_{m\to\infty} T_m = A.
Explicando didaticamente: a convergência de uma série não é sobre cada termo isolado, mas sobre a sequência das somas parciais. Então nosso objetivo será relacionar S_k e T_m.
Passo 3
Construir a ligação entre índices (mapeamento entre as somas parciais).
Defina \varphi(m) como o índice do m-ésimo termo não nulo de (a_n). Ou seja, \varphi(1) é o menor n tal que a_n\neq0, \varphi(2) é o segundo índice com a_n\neq0, etc. A função \varphi:\mathbb{N}\to\mathbb{N} é estritamente crescente (cada novo termo não nulo vem num índice maior).
Pelo modo como b_j foi obtida, tem-se, para todo m natural,
b_m = a_{\varphi(m)}.
Portanto, a soma parcial dos primeiros m termos de (b_n) é igual à soma parcial de (a_n) até o índice \varphi(m):
Aqui expliquei passo a passo: a soma dos m primeiros b_j é justamente a soma dos m primeiros termos não nulos de a_n; somando os termos a_n até o índice \varphi(m) obtém-se exatamente essa soma porque os outros entre 1 e \varphi(m) que são nulos não alteram a soma.
Passo 4
Provar a direção: se \Sigma(a_n) converge para A então \Sigma(b_n) converge para A.
Hipótese: \lim_{k\to\infty} S_k = A.
Como \varphi(m) é crescente e \varphi(m)\ge m, tem que \varphi(m)\to\infty quando m\to\infty, salvo o caso degenerado em que há apenas finitos termos não nulos (trato isso logo a seguir). Portanto, aplicando a hipótese a S_{\varphi(m)},
T_m = S_{\varphi(m)} \xrightarrow[m\to\infty]{} A.
Explicando com epsilão (passo padrão de análise): tome \varepsilon>0. Como S_k\to A, existe N tal que para todo k\ge N temos |S_k-A|<\varepsilon. Como \varphi(m)\to\infty, existe M tal que para todo m\ge M tem \varphi(m)\ge N. Assim para todo m\ge M,
|T_m-A| = |S_{\varphi(m)}-A|<\varepsilon.
Logo T_m\to A, isto é, \Sigma(b_n) converge para A.
Passo 5
Tratar o caso especial: apenas finitos termos não nulos.
Se só existem finitos n tais que a_n\neq0, então \Sigma(a_n) é uma soma finita (a partir de certo índice todos os a_n são zero), logo converge para a soma desses termos não nulos. A sequência (b_n) lista exatamente esses termos não nulos; portanto \Sigma(b_n) é também uma soma finita com o mesmo valor. Assim a conclusão da Passo 4 permanece válida neste caso (convergência para o mesmo A).
Em outras palavras, o argumento com \varphi(m) continua correto: se há apenas m_0 termos não nulos, então para m\ge m_0 temos T_m=T_{m_0}=S_{\varphi(m_0)} e essa é a soma final A.
Passo 6
Provar a direção contrária: se \Sigma(b_n) converge para A então \Sigma(a_n) converge para A.
Defina para cada k natural o número m(k) como a quantidade de termos não nulos entre a_1,a_2,\dots,a_k. Em palavras, m(k) conta quantos a_n com 1\le n\le k são não nulos. Então a soma parcial S_k (soma de todos os a_n até k) é igual à soma dos primeiros m(k) termos não nulos, ou seja,
S_k = T_{m(k)}.
Observação: a função m(k) é não decrescente e satisfaz m(k)\to\infty quando k\to\infty sempre que existam infinitos termos não nulos; se houver apenas finitos termos não nulos, estamos na situação do passo anterior (séries finitas) e a conclusão é óbvia. Então supondo o caso não degenerado, m(k)\to\infty.
Como T_m\to A, para dado \varepsilon>0 existe M tal que para todo m\ge M tem |T_m-A|<\varepsilon. Para k grande o suficiente teremos m(k)\ge M (pois m(k)\to\infty), logo para tais k
|S_k-A| = |T_{m(k)}-A| < \varepsilon.
Portanto S_k\to A, isto é, \Sigma(a_n) converge para A.
Passo 7
Resumo da lógica e observações finais (aula curta de estratégia).
A ideia-chave: omitir termos nulos não altera as somas parciais além de reindexar-as. Cada soma parcial de \Sigma(b_n) é uma soma parcial de \Sigma(a_n) em algum índice maior, e cada soma parcial de \Sigma(a_n) é uma soma parcial de \Sigma(b_n) com índice igual ao número de termos não nulos considerados. Portanto as duas sequências de somas parciais são subsequências uma da outra (talvez com truncamento finito), e subsequências de uma sequência convergente têm o mesmo limite; isso basta para concluir a equivalência.
Também vale observar que este argumento mostra mais: os somatórios, quando existem, coincidem exatamente termo a termo nas somas parciais apropriadas, garantindo que o limite (se existir) é o mesmo A.
Resposta
As séries \Sigma(a_n) e \Sigma(b_n) convergem simultaneamente e, quando convergem, têm o mesmo somatório A.