Mostre que o grupamento de termos de uma série convergente por meio de parênteses contendo um númeco finito de termos não destrói nem a convergência nem o valor do limite. Todaviá, o grupamento de termos em uma série divergente pode resultar em convergência.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Mostrar que, se a série \sum_{n=1}^{\infty} a_n converge (para algum valor S), então qualquer agrupamento dos termos em parênteses que contenha um número finito de termos por parêntese não destrói a convergência nem muda o valor do somatório.
  • Mostrar que, apesar do item anterior, é possível que uma série divergente seja transformada em uma série convergente através de agrupamento (ou seja, dar um exemplo concreto).
Informações dadas que vamos usar:
  • Há uma série original com termos (a_n)_{n\ge1}.
  • O agrupamento é feito juntando termos consecutivos em blocos finitos. Formalmente podemos tomar índices 0=n_0<n_1<n_2<\cdots e definir, para cada k\ge1, o bloco
b_k=\sum_{j=n_{k-1}+1}^{n_k} a_j.
  • Deve-se provar que \sum_{k=1}^{\infty} b_k converge para o mesmo limite quando \sum_{n=1}^{\infty} a_n converge, e depois dar um exemplo onde a série original diverge mas o agrupamento converte em série convergente.

Passo 2

Definições e ideia-chave (passo didático, sem pular etapas):
  • Uma série \sum_{n=1}^{\infty} a_n é definida pelos seus somatórios parciais s_N=\sum_{n=1}^{N} a_n. Dizemos que a série converge para \,S se
\lim_{N\to\infty} s_N = S.
  • Quando agrupamos termos em blocos finitos e definimos b_k como acima, os somatórios parciais da nova série são
t_K=\sum_{k=1}^{K} b_k.
  • Observação essencial (a base da prova): cada t_K é exatamente um somatório parcial s_{n_K} da série original, porque somar os primeiros K blocos é somar os termos até o índice n_K. Ou seja,
t_K = s_{n_K}.
  • Assim, a sequência (t_K)_{K\ge1} é uma subsequência da sequência (s_N)_{N\ge1} dos somatórios parciais originais.

Passo 3

Lema sobre subsequências (explicação e prova curta, porque é a ferramenta principal):
  • Lema: se uma sequência real (s_N) converge para S, então toda subsequência (s_{n_K}) também converge para S.
  • Prova do lema (muito direta): por hipótese, para dado \varepsilon>0 existe N_0 tal que |s_N-S|<\varepsilon para todo N\ge N_0. Como n_K\to\infty quando K\to\infty, existe K_0 com n_K\ge N_0 para todo K\ge K_0. Para esses K temos |s_{n_K}-S|<\varepsilon. Logo \lim_{K\to\infty} s_{n_K}=S. Fim do lema.
  • Intuição leve: se a sequência toda vai para S, qualquer seleção de termos que vá para frente (subsequência) também vai para S.

Passo 4

Aplicando o lema ao agrupamento (prova principal, passo a passo):
  • Suponha que \sum_{n=1}^{\infty} a_n converge e seus somatórios parciais são s_N com \lim_{N\to\infty} s_N = S.
  • Como observado, os somatórios parciais da série agrupada são t_K = s_{n_K}. Portanto (t_K) é uma subsequência de (s_N).
  • Pelo lema, \lim_{K\to\infty} t_K = \lim_{K\to\infty} s_{n_K} = S.
  • Conclusão: a série agrupada \sum_{k=1}^{\infty} b_k converge e o seu somatório é o mesmo S. Ou seja, agrupar termos em blocos finitos não destrói a convergência nem altera o valor do limite.

Passo 5

Observações importantes e intuição prática para a prova:
  • É crucial que cada parêntese contenha um número finito de termos e que os blocos sejam feitos com termos consecutivos, porque assim cada soma parcial agrupada corresponde exatamente a alguma soma parcial original. Se se permitissem blocos infinitos ou permutações arbitrárias dos termos, a situação muda (veja nota abaixo).
  • Na prática de prova em exame: explique que os somatórios parciais da série agrupada são subsequência dos somatórios parciais originais e aplique o fato de que subsequência de sequência convergente converge para o mesmo limite. Esse é o argumento todo — curto, elegante e à prova de falhas.

Passo 6

Agora o segundo item: uma série divergente pode virar convergente por agrupamento — exemplo concreto e explicação passo a passo:
  • Considere a série alternada
\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} = 1-1+1-1+1-1+\cdots.
  • Os somatórios parciais dessa série são s_1=1, s_2=0, s_3=1, s_4=0, \dots — os s_N oscilam entre 1 e 0 e portanto não têm limite. Logo a série é divergente.
  • Agora agrupe termos em pares: cada bloco contém dois termos consecutivos. Defina
b_k = (1-1) = 0
para todo k. Mais formalmente, escolher n_k=2k e então
b_k=\sum_{j=2k-1}^{2k} (-1)^{j+1}=0.
  • A série agrupada é
\sum_{k=1}^{\infty} b_k = \sum_{k=1}^{\infty} 0 = 0,
que claramente converge (para 0).
  • Assim temos um exemplo explícito onde a série original diverge, mas o agrupamento por blocos finitos transforma-a numa série convergente.

Passo 7

Comentários finais, intuição e dicas para prova:
  • Recapitulando: se a série original converge, todo agrupamento em blocos finitos de termos consecutivos dá uma série que converge para o mesmo número, porque os somatórios parciais agrupados são uma subsequência dos somatórios parciais originais. Esse é o ponto fundamental a lembrar para a prova.
  • Também é importante ter na manga o exemplo simples 1-1+1-1+\cdots para mostrar que, quando a série original diverge, o agrupamento pode mudar o comportamento (ainda que isso não contradiga o teorema acima, pois a hipótese de convergência da série original não vale nesse caso).
  • Observação avançada (só para contexto): se em vez de agrupar você permutar arbitrariamente os termos (rearranjar uma série condicionalmente convergente), pode acontecer de obter qualquer limite ou até divergência (teorema de Riemann). Aqui tratamos só de agrupamentos finitos de termos consecutivos, caso mais simples e seguro.

Resposta

Se \sum_{n=1}^{\infty} a_n = S e os termos são agrupados em blocos finitos consecutivos com b_k=\sum_{j=n_{k-1}+1}^{n_k} a_j, então \sum_{k=1}^{\infty} b_k = S.\n\nExemplo que mostra o segundo ponto: a série \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1}=1-1+1-1+\cdots é divergente, mas agrupando em pares (1-1)+(1-1)+\cdots obtém-se \sum_{k=1}^{\infty} 0=0, que converge.

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