b) Mostre que, quando excitado por um degrau unitário, o erro em regime permanente de um sistema controlado por um compensador PI é sempre nulo
Passo 1
Beleza! O enunciado pede pra mostrar que, quando a gente aplica um degrau unitário (r(t)=1·u(t)) a um sistema que tem um compensador PI, o erro em regime permanente sempre dá zero. Isso é controle clássico de sistemas, mais exatamente estamos falando de análise de erro em regime permanente e da ação integrativa do controlador PI. Pra resolver, vamos precisar de:
- A função de transferência do controlador PI, que é
- A definição de erro em malha fechada e sua função de transferência
. - O Teorema do Valor Final para achar o erro em regime permanente.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a malha fechada geral. Supondo uma planta G(s) qualquer, temos:
– Controlador:
– Planta:
– A realimentação é unitarizada (feedback 1).
– Controlador:
– Planta:
– A realimentação é unitarizada (feedback 1).
O bloco de erro E(s) é a diferença entre referência R(s) e saída Y(s):
A função de transferência em malha fechada da saída é:
Então a função de transferência do erro é:
Passo 3
Agora, para achar o erro em regime permanente para um degrau unitário, usamos o Teorema do Valor Final:
Como R(s) é degrau unitário,
. Então:
Multiplicando por s e levando s→0:
Passo 4
Basta ver o que acontece em
dentro de
. O termo
domina e vai para infinito quando s→0. Assim:
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Resposta
O erro em regime permanente é zero.