b) Mostre que, quando excitado por um degrau unitário, o erro em regime permanente de um sistema controlado por um compensador PI é sempre nulo

Passo 1

Beleza! O enunciado pede pra mostrar que, quando a gente aplica um degrau unitário (r(t)=1·u(t)) a um sistema que tem um compensador PI, o erro em regime permanente sempre dá zero. Isso é controle clássico de sistemas, mais exatamente estamos falando de análise de erro em regime permanente e da ação integrativa do controlador PI. Pra resolver, vamos precisar de:
  1. A função de transferência do controlador PI, que é
C(s) = Kp + Kis
  1. A definição de erro em malha fechada e sua função de transferência .
  2. O Teorema do Valor Final para achar o erro em regime permanente.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a malha fechada geral. Supondo uma planta G(s) qualquer, temos:
– Controlador: E(s) = R(s) - Y(s)
– Planta: Y(s) = C(s)G(s)1 + C(s)G(s),R(s)
– A realimentação é unitarizada (feedback 1).
O bloco de erro E(s) é a diferença entre referência R(s) e saída Y(s):
E(s)R(s) = 1 - Y(s)R(s) = 1 - C(s)G(s)1 + C(s)G(s) = 11 + C(s)G(s)
A função de transferência em malha fechada da saída é:
Então a função de transferência do erro é:

Passo 3

Agora, para achar o erro em regime permanente para um degrau unitário, usamos o Teorema do Valor Final:
ess = limt to infty e(t) = lims to 0 s,E(s)
Como R(s) é degrau unitário, E(s) = 11 + C(s)G(s),1s. Então:
ess = limsto0 scdot 11 + C(s)G(s)1s = limsto0 11 + C(s)G(s)
Multiplicando por s e levando s→0:

Passo 4

Basta ver o que acontece em C(s)G(s) xrightarrow[sto0] infty, dentro de ess = 11 + infty = 0. O termo domina e vai para infinito quando s→0. Assim:
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Resposta

O erro em regime permanente é zero.

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