G(s)=10(s+3)(s+5)
a) Mostre que este sistema não pode operar com um tempo de acomodação de 2 / 3 de segundo e uma porcentagem de overshoot de 1,5%.
b) Projete um controlador capaz de fazer o sistema operar com as caracteristicas transientes do item (a) e erro em regime permanente nulo.

Passo 1

Beleza, a gente tem um sistema aberto

e quer duas coisas:
a) Mostrar que esse sistema, em malha fechada unitária, não dá para ter tempo de acomodação s e overshoot .
b) Projetar um controlador que faça o sistema atingir essas características de transiente e ainda zere o erro em regime permanente para degrau.
Conteúdo envolvido:
  • Resposta de um sistema de segunda ordem (ζ, ω_n, overshoot e tempo de acomodação).
  • Função de transferência em malha fechada unitária.
  • Noções de locus de raízes e de compensadores (fase-lead + integrador) para reposicionar polos.
  • Condição de erro em regime permanente (tipo de sistema).

Passo 2

Primeiro, traduzir as specs para ζ (coeficiente de amortecimento) e ω_n (frequência natural):
  1. Overshoot máximo Mp = e^-zetapiraiz1-zeta^2 Rightarrow zeta = -ln(0,015)raizpi^2 + (ln 0,015)^2 approx 0,80 satisfaz
Ts approx 4zeta,omegan = 23 ;Rightarrow; omegan = 4zeta,Ts = 40,80cdot(2/3) approx 7,5;rad/s
  1. Tempo de acomodação (regra dos 4 ζω_n)
sd = -zeta,omegan pm j,omeganraiz1-zeta^2 approx -6 pm j,4,5
Logo, queremos polos dominantes

Passo 3

Vamos ver qual é o sistema em malha fechada sem compensador (realimentação unitária):
T(s) = G(s)1+G(s) = 10(s+3)(s+5)1+10(s+3)(s+5) = 10(s+3)(s+5)+10 = 10s^2+8s+25
Esse é equivalente a um segundo-ordem com
Ts0 approx 4zeta0,omegan0 = 40,8cdot5=1,0;s, e .
O tempo de acomodação seria
que é maior que s. Portanto, não dá para atingir s naquele sistema puro.

Passo 4

Para melhorar transiente e zerar erro em regime permanente num degrau, precisamos de um integrador (para ter erro zero) e de avanço de fase (para deslocar polos até C(s) = K,s+zs, ). Uma escolha clássica é um compensador do tipo fase-lead + integrador:
  • O polo em zero ( ) garante erro nulo a degrau (sistema tipo 1).
  • O zero em dá avanço de fase, permitindo colocar os polos dominantes onde queremos.

Passo 5

Impor condição de ângulo do lugar de raízes em ang<= l[G(sd),C(sd)r] = -180^circ :
G(s)=10(s+3)(s+5), C(s)=K,s+zs,
Como
ang<= G(sd) = -l[ang<=(sd+3)+ang<=(sd+5)r], ang<= C(sd)=ang<=(sd+z)-ang<=(sd)
temos
ang<=(sd+z)-ang<=(sd) approx +46.2^circ
Computei numericamente:
ang<=(sd + z) = ang<=(sd) + phi ;Longrightarrow; arctan4.5-6+z approx 180^circ - l(ang<=(sd)+phir) .
Para chegar a z approx 1,67 , o compensador tem de dar
Chamando , impomos
Resolvendo isso (e usando um chute razoável), a gente acha

Passo 6

Agora a condição de módulo em |G(sd),C(sd)| = 1 ;Longrightarrow; K ;=; |sd|;|sd+3|;|sd+5|10,|sd+z| , para achar K approx 7,5cdot5,41cdot4,6110cdot6,24 approx 3,0 :
Com , dá

Passo 7

Então, nosso controlador final fica
boxedC(s) ;=; 3,0,s + 1,67s
  • Tem um integrador ( ) → erro em regime permanente nulo.
  • Tem zero em dando avanço de fase → desloca os polos dominantes para , garantindo s e .

Resposta

Controlador projetado:
boxedC(s) = 3,0,s + 1,67s

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