a) Mostre que este sistema não pode operar com um tempo de acomodação de
de segundo e uma porcentagem de overshoot de 1,5%.
b) Projete um controlador capaz de fazer o sistema operar com as caracteristicas transientes do item (a) e erro em regime permanente nulo.
b) Projete um controlador capaz de fazer o sistema operar com as caracteristicas transientes do item (a) e erro em regime permanente nulo.
Passo 1
Beleza, a gente tem um sistema aberto
e quer duas coisas:
a) Mostrar que esse sistema, em malha fechada unitária, não dá para ter tempo de acomodação s e overshoot
.
b) Projetar um controlador que faça o sistema atingir essas características de transiente e ainda zere o erro em regime permanente para degrau.
e quer duas coisas:
a) Mostrar que esse sistema, em malha fechada unitária, não dá para ter tempo de acomodação
b) Projetar um controlador que faça o sistema atingir essas características de transiente e ainda zere o erro em regime permanente para degrau.
Conteúdo envolvido:
- Resposta de um sistema de segunda ordem (ζ, ω_n, overshoot e tempo de acomodação).
- Função de transferência em malha fechada unitária.
- Noções de locus de raízes e de compensadores (fase-lead + integrador) para reposicionar polos.
- Condição de erro em regime permanente (tipo de sistema).
Passo 2
Primeiro, traduzir as specs para ζ (coeficiente de amortecimento) e ω_n (frequência natural):
- Overshoot máximo
satisfaz
- Tempo de acomodação (regra dos 4 ζω_n)
Logo, queremos polos dominantes
Passo 3
Vamos ver qual é o sistema em malha fechada sem compensador (realimentação unitária):
Esse é equivalente a um segundo-ordem com
e
.
O tempo de acomodação seria
O tempo de acomodação seria
que é maior que
s. Portanto, não dá para atingir
s naquele sistema puro.
Passo 4
Para melhorar transiente e zerar erro em regime permanente num degrau, precisamos de um integrador (para ter erro zero) e de avanço de fase (para deslocar polos até
). Uma escolha clássica é um compensador do tipo fase-lead + integrador:
- O polo em zero (
) garante erro nulo a degrau (sistema tipo 1). - O zero em
dá avanço de fase, permitindo colocar os polos dominantes onde queremos.
Passo 5
Impor condição de ângulo do lugar de raízes em
:
Como
temos
Computei numericamente:
.
Para chegar a , o compensador tem de dar
Para chegar a
Chamando
, impomos
Resolvendo isso (e usando um chute razoável), a gente acha
Passo 6
Agora a condição de módulo em
, para achar
:
Com
, dá
Passo 7
Então, nosso controlador final fica
- Tem um integrador (
) → erro em regime permanente nulo. - Tem zero em
dando avanço de fase → desloca os polos dominantes para , garantindo s e .
Resposta
Controlador projetado: