1. Qual o raio da primeira órbita de Bohr para a) \mathrm{He}^{+}, b) \mathrm{Li}^{2+} e c) \mathrm{Be}^{3+} ?

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o raio da primeira órbita (isto é, para n=1) no modelo de Bohr para as três espécies:
a) \mathrm{He}^{+}
b) \mathrm{Li}^{2+}
c) \mathrm{Be}^{3+}
Informações relevantes dadas/assumidas:
  • Cada uma dessas espécies é um átomo “hidrogenoide” (um único elétron em volta de um núcleo com número atômico Z).
  • Para o modelo de Bohr precisamos da constante de Bohr (raio de Bohr) a_0. Vou usar o valor padrão:
a_0 = 5,29\times10^{-11}\\ \mathrm{m}.
  • A primeira órbita corresponde a n=1.
    Não há imagens nem outros dados a extrair.

Passo 2

Explicando a ideia e a fórmula que vamos usar (aula curta, passo a passo e sem pular etapas).
No modelo de Bohr para átomos hidrogenoides assumimos duas coisas principais:
  1. A força centrípeta que mantém o elétron em órbita é a força eletrostática de Coulomb entre núcleo e elétron.
  2. O momento angular do elétron é quantizado: m_e v r = n\hbar, com n=1,2,\dots, onde m_e é a massa do elétron, v sua velocidade e \hbar a constante reduzida de Planck.
Agora monto as equações.
Força centrípeta = força de Coulomb:
\frac{m_e v^2}{r} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Z e^2}{r^2}.
Aqui:
  • r é o raio da órbita (o que queremos),
  • Z é o número atômico do núcleo ( Z=2 para He, Z=3 para Li, Z=4 para Be),
  • e é a carga elementar,
  • \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo.
Quantização do momento angular:
m_e v r = n\hbar.
Vamos usar estas duas equações para eliminar v e achar r. Da segunda equação temos
v = \frac{n\hbar}{m_e r}.
Substituindo na primeira:
\frac{m_e}{r}\left(\frac{n\hbar}{m_e r}\right)^2 = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Z e^2}{r^2}.
Simplificando o lado esquerdo:
\frac{n^2\hbar^2}{m_e r^3} = \frac{Z e^2}{4\pi\varepsilon_0 r^2}.
Multiplicando ambos os lados por r^3 e isolando r:
r = \frac{4\pi\varepsilon_0 \hbar^2}{m_e e^2}\cdot\frac{n^2}{Z}.
A quantidade \dfrac{4\pi\varepsilon_0 \hbar^2}{m_e e^2} é justamente o raio de Bohr a_0. Assim obtemos a fórmula padrão:
r_n = \frac{n^2}{Z}\, a_0.
Explicando as variáveis nesta fórmula:
  • r_n é o raio da órbita de número quântico n,
  • n é o número quântico principal (para a primeira órbita, n=1),
  • Z é o número atômico do núcleo,
  • a_0 é o raio de Bohr, valor físico fixo a_0=5,29\times10^{-11}\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Aplicando ao caso pedido: primeira órbita, ou seja n=1. A fórmula fica
r_1 = \frac{1^2}{Z} a_0 = \frac{a_0}{Z}.
Então basta dividir a_0 por Z para cada íon.
Vou explicar rapidinho o porquê físico: aumentar Z aumenta a atração elétrica núcleo–elétron, puxando o elétron para mais perto; por isso o raio escala como 1/Z.

Passo 4

Cálculo numérico para cada caso. Vou mostrar as contas passo a passo.
a) Para \mathrm{He}^{+}: aqui Z=2.
r_1(\mathrm{He}^{+})=\frac{a_0}{2}=\frac{5,29\times10^{-11}}{2}=2,645\times10^{-11}\\ \mathrm{m}.
Convertendo para ångström ( 1\\ \text{\AA}=10^{-10}\\ \mathrm{m}):
2,645\times10^{-11}\\ \mathrm{m}=0,2645\\ \text{\AA}.
b) Para \mathrm{Li}^{2+}: aqui Z=3.
r_1(\mathrm{Li}^{2+})=\frac{a_0}{3}=\frac{5,29\times10^{-11}}{3}=1,763\overline{3}\times10^{-11}\\ \mathrm{m}.
Arredondando com três algarismos significativos:
r_1(\mathrm{Li}^{2+})\approx1,76\times10^{-11}\\ \mathrm{m}=0,1763\\ \text{\AA}.
c) Para \mathrm{Be}^{3+}: aqui Z=4.
r_1(\mathrm{Be}^{3+})=\frac{a_0}{4}=\frac{5,29\times10^{-11}}{4}=1,3225\times10^{-11}\\ \mathrm{m}.
Em ångström:
r_1(\mathrm{Be}^{3+})=0,13225\\ \text{\AA}.
Observação sobre arredondamento: mantive mais casas intermediariamente para clareza; se precisar de 2 ou 3 algarismos significativos, pode arredondar conforme o costume da prova.

Passo 5

Resumo rápido e incentivo: a fórmula-chave é \;r_1=a_0/Z\;. Para átomos hidrogenoides sempre divida o raio de Bohr por Z quando n=1. Dá pra decorar: mais carga no núcleo → elétron mais perto → raio menor como 1/Z. Você já pode aplicar isso direto em exercícios parecidos na prova — respira, faz com calma e segue o passo de substituir Z e calcular.

Resposta

a) r_1(\mathrm{He}^{+})=\dfrac{a_0}{2}=2,645\times10^{-11}\\ \mathrm{m} \,=0,2645\\ \text{\AA}
b) r_1(\mathrm{Li}^{2+})=\dfrac{a_0}{3}\approx1,763\times10^{-11}\\ \mathrm{m} \,\approx0,1763\\ \text{\AA}
c) r_1(\mathrm{Be}^{3+})=\dfrac{a_0}{4}=1,3225\times10^{-11}\\ \mathrm{m} \,=0,13225\\ \text{\AA}

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