- Qual o raio da primeira órbita de Bohr para a)
, b)
e c)
?
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o raio da primeira órbita (isto é, para
) no modelo de Bohr para as três espécies:
a)
b)
c)
a)
b)
c)
Informações relevantes dadas/assumidas:
- Cada uma dessas espécies é um átomo “hidrogenoide” (um único elétron em volta de um núcleo com número atômico
). - Para o modelo de Bohr precisamos da constante de Bohr (raio de Bohr)
. Vou usar o valor padrão:
- A primeira órbita corresponde a
.
Não há imagens nem outros dados a extrair.
Passo 2
Explicando a ideia e a fórmula que vamos usar (aula curta, passo a passo e sem pular etapas).
No modelo de Bohr para átomos hidrogenoides assumimos duas coisas principais:
- A força centrípeta que mantém o elétron em órbita é a força eletrostática de Coulomb entre núcleo e elétron.
- O momento angular do elétron é quantizado:
, com , onde é a massa do elétron, sua velocidade e a constante reduzida de Planck.
Agora monto as equações.
Força centrípeta = força de Coulomb:
Aqui:
-
é o raio da órbita (o que queremos), -
é o número atômico do núcleo ( para He, para Li, para Be), -
é a carga elementar, -
é a permissividade do vácuo.
Quantização do momento angular:
Vamos usar estas duas equações para eliminar
e achar
. Da segunda equação temos
Substituindo na primeira:
Simplificando o lado esquerdo:
Multiplicando ambos os lados por
e isolando
:
A quantidade
é justamente o raio de Bohr
. Assim obtemos a fórmula padrão:
Explicando as variáveis nesta fórmula:
-
é o raio da órbita de número quântico , -
é o número quântico principal (para a primeira órbita, ), -
é o número atômico do núcleo, -
é o raio de Bohr, valor físico fixo .
Passo 3
Aplicando ao caso pedido: primeira órbita, ou seja
. A fórmula fica
Então basta dividir
por
para cada íon.
Vou explicar rapidinho o porquê físico: aumentar
aumenta a atração elétrica núcleo–elétron, puxando o elétron para mais perto; por isso o raio escala como
.
Passo 4
Cálculo numérico para cada caso. Vou mostrar as contas passo a passo.
a) Para
: aqui
.
Convertendo para ångström (
):
b) Para
: aqui
.
Arredondando com três algarismos significativos:
c) Para
: aqui
.
Em ångström:
Observação sobre arredondamento: mantive mais casas intermediariamente para clareza; se precisar de 2 ou 3 algarismos significativos, pode arredondar conforme o costume da prova.
Passo 5
Resumo rápido e incentivo: a fórmula-chave é
. Para átomos hidrogenoides sempre divida o raio de Bohr por
quando
. Dá pra decorar: mais carga no núcleo → elétron mais perto → raio menor como
. Você já pode aplicar isso direto em exercícios parecidos na prova — respira, faz com calma e segue o passo de substituir
e calcular.
Resposta
a)
b)
c)