b)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a soma da série infinita
Informações relevantes fornecidas:
- O termo geral é
. - A soma é desde
até .
Não vamos resolver ainda — só identificamos o que é pedido e qual é o termo geral.
Passo 2
Observação útil que facilita muito a resolução (e que você pode usar numa prova): reconhecer a relação com o coeficiente binomial central. Lembrando que
temos portanto
Ou seja, a nossa série é a soma das recíprocas dos coeficientes binomiais centrais:
Isso já dá intuição — os termos vão a zero bem rápido — mas precisamos de um valor exato, então vamos transformar
numa integral para poder somar.
Passo 3
Vou usar uma fórmula integral conhecida (fórmula de Beta) que é bem prática para expressar números com fatoriais:
Para inteiros
e
isso dá
Multiplicando ambos os lados por
obtemos a identidade que queremos:
Aqui expliquei de onde veio a integral: usei a relação Beta com
e ajustei o fator
para trocar
por
.
Passo 4
Agora substituímos essa representação integral do termo geral dentro da soma:
Como todos os termos dentro da integral são não-negativos para
, podemos trocar soma e integral (teorema da convergência dominada / positividade):
Defina
. Note que para
temos
, então a soma em potências de
converge absolutamente.
Passo 5
Calculamos a soma de potências que aparece dentro da integral. Usamos as fórmulas básicas para séries de potências:
Portanto
Fazendo a soma e simplificando obtemos
Passo 6
Voltando para a integral com
, temos
Para calcular essa integral convenientemente, faço a substituição simétrica
que transforma
. Os limites
e
. Após substituir e simplificar (detalhes algébricos cuidados), a integral fica
Como o integrando é função par, isso é igual a
Passo 7
Agora reduzimos a integral racional com divisão polinomial. Observando que os polinômios têm mesmo grau, fazemos a divisão:
Logo a integral se separa:
Factorizando
no numerador:
Escrevemos
como combinação de
e constante:
Assim
Passo 8
Calculamos as integrais elementares:
- Integral do tipo arctan:
- Integral da forma
. A primitiva conhecida é
Aqui
, então avaliando de
a
obtemos
Agora juntamos tudo:
Simplificando passo a passo:
e
. Então a integral total vale
Passo 9
Finalmente usamos o valor trigonométrico conhecido
pois
. Substituindo:
Portanto a soma da série é