b) \quad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!^{2}}{(2 n)!}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma da série infinita
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n!^{2}}{(2n)!}.
Informações relevantes fornecidas:
  • O termo geral é a_n=\dfrac{n!^{2}}{(2n)!}.
  • A soma é desde n=1 até n\to\infty.
    Não vamos resolver ainda — só identificamos o que é pedido e qual é o termo geral.

Passo 2

Observação útil que facilita muito a resolução (e que você pode usar numa prova): reconhecer a relação com o coeficiente binomial central. Lembrando que
\binom{2n}{n}=\frac{(2n)!}{n!^{2}},
temos portanto
\frac{n!^{2}}{(2n)!}=\frac{1}{\binom{2n}{n}}.
Ou seja, a nossa série é a soma das recíprocas dos coeficientes binomiais centrais:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\binom{2n}{n}}.
Isso já dá intuição — os termos vão a zero bem rápido — mas precisamos de um valor exato, então vamos transformar a_n numa integral para poder somar.

Passo 3

Vou usar uma fórmula integral conhecida (fórmula de Beta) que é bem prática para expressar números com fatoriais:
\mathrm{B}(p,q)=\int_{0}^{1} t^{p-1}(1-t)^{q-1}\,dt=\frac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)}.
Para inteiros p=n+1 e q=n+1 isso dá
\int_{0}^{1} t^{n}(1-t)^{n}\,dt=\frac{n!\,n!}{(2n+1)!}.
Multiplicando ambos os lados por 2n+1 obtemos a identidade que queremos:
\frac{n!^{2}}{(2n)!}=(2n+1)\int_{0}^{1} t^{n}(1-t)^{n}\,dt.
Aqui expliquei de onde veio a integral: usei a relação Beta com p=q=n+1 e ajustei o fator 2n+1 para trocar (2n+1)! por (2n)!.

Passo 4

Agora substituímos essa representação integral do termo geral dentro da soma:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n!^{2}}{(2n)!}=\sum_{n=1}^{\infty}(2n+1)\int_{0}^{1} t^{n}(1-t)^{n}\,dt.
Como todos os termos dentro da integral são não-negativos para t\in[0,1], podemos trocar soma e integral (teorema da convergência dominada / positividade):
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n!^{2}}{(2n)!}=\int_{0}^{1}\sum_{n=1}^{\infty}(2n+1)\bigl(t(1-t)\bigr)^{n}\,dt.
Defina u=t(1-t). Note que para t\in[0,1] temos 0\le u\le \tfrac{1}{4}, então a soma em potências de u converge absolutamente.

Passo 5

Calculamos a soma de potências que aparece dentro da integral. Usamos as fórmulas básicas para séries de potências:
\sum_{n=1}^{\infty}u^{n}=\frac{u}{1-u}, \qquad \sum_{n=1}^{\infty}n u^{n}=\frac{u}{(1-u)^{2}}.
Portanto
\sum_{n=1}^{\infty}(2n+1)u^{n}=2\sum_{n=1}^{\infty}n u^{n}+\sum_{n=1}^{\infty}u^{n} =2\cdot\frac{u}{(1-u)^{2}}+\frac{u}{1-u}.
Fazendo a soma e simplificando obtemos
\sum_{n=1}^{\infty}(2n+1)u^{n}=\frac{u(3-u)}{(1-u)^{2}}.

Passo 6

Voltando para a integral com u=t(1-t), temos
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n!^{2}}{(2n)!} =\int_{0}^{1}\frac{t(1-t)\bigl(3-t(1-t)\bigr)}{\bigl(1-t(1-t)\bigr)^{2}}\,dt.
Para calcular essa integral convenientemente, faço a substituição simétrica
x=2t-1\quad\Rightarrow\quad t=\frac{1+x}{2},\quad dt=\frac{dx}{2},
que transforma t(1-t)=\dfrac{1-x^{2}}{4}. Os limites t=0\to x=-1 e t=1\to x=1. Após substituir e simplificar (detalhes algébricos cuidados), a integral fica
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n!^{2}}{(2n)!} =\frac{1}{2}\int_{-1}^{1}\frac{11-10x^{2}-x^{4}}{(3+x^{2})^{2}}\,dx.
Como o integrando é função par, isso é igual a
\int_{0}^{1}\frac{11-10x^{2}-x^{4}}{(3+x^{2})^{2}}\,dx.

Passo 7

Agora reduzimos a integral racional com divisão polinomial. Observando que os polinômios têm mesmo grau, fazemos a divisão:
\frac{11-10x^{2}-x^{4}}{(3+x^{2})^{2}}=-1+\frac{20-4x^{2}}{(3+x^{2})^{2}}.
Logo a integral se separa:
\int_{0}^{1}\frac{11-10x^{2}-x^{4}}{(3+x^{2})^{2}}\,dx =\int_{0}^{1}(-1)\,dx+\int_{0}^{1}\frac{20-4x^{2}}{(3+x^{2})^{2}}\,dx =-1+\int_{0}^{1}\frac{20-4x^{2}}{(3+x^{2})^{2}}\,dx.
Factorizando 4 no numerador:
\int_{0}^{1}\frac{20-4x^{2}}{(3+x^{2})^{2}}\,dx =4\int_{0}^{1}\frac{5-x^{2}}{(3+x^{2})^{2}}\,dx.
Escrevemos 5-x^{2} como combinação de 3+x^{2} e constante:
5-x^{2}=-1\cdot(3+x^{2})+8.
Assim
4\int_{0}^{1}\frac{5-x^{2}}{(3+x^{2})^{2}}\,dx =4\int_{0}^{1}\left(-\frac{1}{3+x^{2}}+\frac{8}{(3+x^{2})^{2}}\right)dx.

Passo 8

Calculamos as integrais elementares:
  1. Integral do tipo arctan:
\int_{0}^{1}\frac{1}{3+x^{2}}\,dx=\frac{1}{\sqrt{3}}\arctan\!\bigl(\tfrac{1}{\sqrt{3}}\bigr).
  1. Integral da forma \displaystyle\int\frac{1}{(a^{2}+x^{2})^{2}}dx. A primitiva conhecida é
\int\frac{dx}{(x^{2}+a^{2})^{2}}=\frac{x}{2a^{2}(x^{2}+a^{2})}+\frac{1}{2a^{3}}\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{a}\bigr)+C.
Aqui a=\sqrt{3}, então avaliando de 0 a 1 obtemos
\int_{0}^{1}\frac{dx}{(3+x^{2})^{2}}=\frac{1}{24}+\frac{1}{6\sqrt{3}}\arctan\!\bigl(\tfrac{1}{\sqrt{3}}\bigr).
Agora juntamos tudo:
4\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\arctan\!\bigl(\tfrac{1}{\sqrt{3}}\bigr) +8\Bigl(\frac{1}{24}+\frac{1}{6\sqrt{3}}\arctan\!\bigl(\tfrac{1}{\sqrt{3}}\bigr)\Bigr)\right).
Simplificando passo a passo: 8\cdot\frac{1}{24}=\frac{1}{3} e 8\cdot\frac{1}{6\sqrt{3}}=\frac{4}{3\sqrt{3}}. Então a integral total vale
-1+\left(\frac{4}{3}+\frac{4}{3\sqrt{3}}\arctan\!\bigl(\tfrac{1}{\sqrt{3}}\bigr)\right) =\frac{1}{3}+\frac{4}{3\sqrt{3}}\arctan\!\bigl(\tfrac{1}{\sqrt{3}}\bigr).

Passo 9

Finalmente usamos o valor trigonométrico conhecido
\arctan\!\bigl(\tfrac{1}{\sqrt{3}}\bigr)=\frac{\pi}{6},
pois \tan(\pi/6)=1/\sqrt{3}. Substituindo:
\frac{4}{3\sqrt{3}}\arctan\!\bigl(\tfrac{1}{\sqrt{3}}\bigr) =\frac{4}{3\sqrt{3}}\cdot\frac{\pi}{6} =\frac{2\pi}{9\sqrt{3}}.
Portanto a soma da série é
\frac{1}{3}+\frac{2\pi}{9\sqrt{3}}.

Resposta

\frac{1}{3}+\frac{2\pi}{9\sqrt{3}}

Exercícios relacionados