Considere a serie geométrica: \sum_{n=0}^{\infty} 3\left(\frac{1}{2}\right)^{n}
a) Calcula a soma Parcial de s_{5}
b) Calculo o Valor exato da soma Infinita dessa serie geométrica
b) Calcular o valor exato da soma infinita dessa série geométrica:
\sum_{n=0}^{\infty}3\left(\frac{1}{2}\right)^{n}.
Informações relevantes fornecidas: o primeiro termo implícito é 3\left(\tfrac{1}{2}\right)^{0}=3 e a razão é \tfrac{1}{2}. Nada mais é pedido além dessas duas somas.
Passo 2
Entendendo o que é uma série geométrica e quais fórmulas usamos.
Uma série geométrica tem termos da forma a, ar, ar^{2},\dots, onde:
a é o primeiro termo (ou termo inicial),
r é a razão (o fator que multiplica um termo para obter o próximo).
A soma parcial até o N-ésimo termo é dada pela fórmula (vamos provar essa fórmula no próximo passo)
S_{N} = a \frac{1-r^{N+1}}{1-r},
desde que r\neq 1.
Se |r|<1, ao levar N\to\infty temos r^{N+1}\to 0 e a soma infinita existe e vale
S_{\infty} = \frac{a}{1-r}.
Vou agora deduzir a fórmula da soma parcial para você entender passo a passo.
Passo 3
Demonstração da fórmula da soma parcial (aquela que vamos aplicar).
Considere a soma parcial
S_{N}=a+ar+ar^{2}+\cdots+ar^{N}.
Multiplicando ambos os lados por r obtemos
rS_{N}=ar+ar^{2}+\cdots+ar^{N}+ar^{N+1}.
Agora subtraímos as duas equações: S_{N}-rS_{N}. No lado esquerdo isso é S_{N}(1-r). No lado direito, quase todos os termos se cancelam em pares e sobra somente a-ar^{N+1}. Logo
S_{N}(1-r)=a-ar^{N+1}.
Dividindo por 1-r (lembrando que r\neq 1) temos a fórmula desejada:
S_{N}=a\frac{1-r^{N+1}}{1-r}.
Esta é a fórmula que usaremos para s_{5} (com N=5).
Passo 4
Identificar a e r no nosso caso e aplicar a fórmula.
Do enunciado temos, como já observei,
a=3\left(\tfrac{1}{2}\right)^{0}=3
e
r=\tfrac{1}{2}.
Para a soma parcial até n=5 usamos N=5 na fórmula:
s_{5}=S_{5}=a\frac{1-r^{6}}{1-r}.
Passo 5
Calcular explicitamente s_{5} passo a passo usando frações (sem calculadora).