Considere a serie geométrica: \sum_{n=0}^{\infty} 3\left(\frac{1}{2}\right)^{n}
a) Calcula a soma Parcial de s_{5}
b) Calculo o Valor exato da soma Infinita dessa serie geométrica

Passo 1

O enunciado dá a série geométrica
\sum_{n=0}^{\infty} 3\left(\frac{1}{2}\right)^{n}
e pede duas coisas:
a) Calcular a soma parcial s_{5}, ou seja
s_{5}=\sum_{n=0}^{5}3\left(\frac{1}{2}\right)^{n}.
b) Calcular o valor exato da soma infinita dessa série geométrica:
\sum_{n=0}^{\infty}3\left(\frac{1}{2}\right)^{n}.
Informações relevantes fornecidas: o primeiro termo implícito é 3\left(\tfrac{1}{2}\right)^{0}=3 e a razão é \tfrac{1}{2}. Nada mais é pedido além dessas duas somas.

Passo 2

Entendendo o que é uma série geométrica e quais fórmulas usamos.
Uma série geométrica tem termos da forma a, ar, ar^{2},\dots, onde:
  • a é o primeiro termo (ou termo inicial),
  • r é a razão (o fator que multiplica um termo para obter o próximo).
A soma parcial até o N-ésimo termo é dada pela fórmula (vamos provar essa fórmula no próximo passo)
S_{N} = a \frac{1-r^{N+1}}{1-r},
desde que r\neq 1.
Se |r|<1, ao levar N\to\infty temos r^{N+1}\to 0 e a soma infinita existe e vale
S_{\infty} = \frac{a}{1-r}.
Vou agora deduzir a fórmula da soma parcial para você entender passo a passo.

Passo 3

Demonstração da fórmula da soma parcial (aquela que vamos aplicar).
Considere a soma parcial
S_{N}=a+ar+ar^{2}+\cdots+ar^{N}.
Multiplicando ambos os lados por r obtemos
rS_{N}=ar+ar^{2}+\cdots+ar^{N}+ar^{N+1}.
Agora subtraímos as duas equações: S_{N}-rS_{N}. No lado esquerdo isso é S_{N}(1-r). No lado direito, quase todos os termos se cancelam em pares e sobra somente a-ar^{N+1}. Logo
S_{N}(1-r)=a-ar^{N+1}.
Dividindo por 1-r (lembrando que r\neq 1) temos a fórmula desejada:
S_{N}=a\frac{1-r^{N+1}}{1-r}.
Esta é a fórmula que usaremos para s_{5} (com N=5).

Passo 4

Identificar a e r no nosso caso e aplicar a fórmula.
Do enunciado temos, como já observei,
a=3\left(\tfrac{1}{2}\right)^{0}=3
e
r=\tfrac{1}{2}.
Para a soma parcial até n=5 usamos N=5 na fórmula:
s_{5}=S_{5}=a\frac{1-r^{6}}{1-r}.

Passo 5

Calcular explicitamente s_{5} passo a passo usando frações (sem calculadora).
Substituindo a=3 e r=\tfrac{1}{2} em
s_{5}=3\frac{1-\left(\tfrac{1}{2}\right)^{6}}{1-\tfrac{1}{2}}.
Calcule cada parte:
\left(\tfrac{1}{2}\right)^{6}=\tfrac{1}{64}.
Então o numerador é
1-\tfrac{1}{64}=\tfrac{64}{64}-\tfrac{1}{64}=\tfrac{63}{64}.
O denominador é
1-\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{2}.
Logo
s_{5}=3\cdot\frac{\tfrac{63}{64}}{\tfrac{1}{2}}.
Dividir por \tfrac{1}{2} é o mesmo que multiplicar por 2, então
s_{5}=3\cdot\frac{63}{64}\cdot 2.
Multiplicando os inteiros:
3\cdot 2=\!6,
portanto
s_{5}=6\cdot\frac{63}{64}=\frac{6\cdot63}{64}=\frac{378}{64}.
Simplificando a fração dividindo numerador e denominador por 2:
\frac{378}{64}=\frac{189}{32}.
Assim s_{5}=\dfrac{189}{32}. (Se quiser, isso dá 5,90625, mas a forma exata é \dfrac{189}{32}.)

Passo 6

Agora a soma infinita: justificativa e cálculo.
Como |r|=\left|\tfrac{1}{2}\right|=\tfrac{1}{2}<1, temos \lim_{N\to\infty}r^{N+1}=0. Partindo da expressão para S_{N},
S_{N}=a\frac{1-r^{N+1}}{1-r},
tomando o limite N\to\infty obtemos
S_{\infty}=\lim_{N\to\infty}S_{N}=a\frac{1-0}{1-r}=\frac{a}{1-r}.

Passo 7

Aplicar a fórmula da soma infinita ao nosso caso.
Com a=3 e r=\tfrac{1}{2},
\sum_{n=0}^{\infty}3\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n}=S_{\infty}=\frac{3}{1-\tfrac{1}{2}}.
Calcule o denominador:
1-\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{2},
portanto
S_{\infty}=\frac{3}{\tfrac{1}{2}}=3\cdot 2=6.

Resposta

a) s_{5}=\dfrac{189}{32}
b) \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}3\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n}=6

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