Dada a sequencia a_{n}=\frac{1}{n+1}
a) Calcula os Primeiros 4 termos da serie \sum a_{n}
b) Calcula a Soma Parcial s_{4}

Passo 1

O enunciado dá a sequência a_{n}=\frac{1}{n+1} e pede duas coisas:
a) os primeiros 4 termos da série \sum a_{n};
b) a soma parcial s_{4} (ou seja, a soma dos primeiros 4 termos).
Informação dada: para cada n temos a_{n}=\dfrac{1}{n+1}. Não foi especificado o índice inicial, então vamos usar a convenção comum n=1,2,3,\dots.

Passo 2

O que significa “primeiros 4 termos da série \sum a_{n}”?
  • A série \sum a_{n} é a soma dos termos da sequência a_n.
  • Os “primeiros 4 termos da série” são simplesmente os quatro primeiros termos da sequência, ou seja a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}.
    Agora vamos calcular cada um usando a fórmula a_{n}=\dfrac{1}{n+1}.

Passo 3

Calculemos termo a termo:
  • a_{1}=\dfrac{1}{1+1}=\dfrac{1}{2}.
  • a_{2}=\dfrac{1}{2+1}=\dfrac{1}{3}.
  • a_{3}=\dfrac{1}{3+1}=\dfrac{1}{4}.
  • a_{4}=\dfrac{1}{4+1}=\dfrac{1}{5}.
    Portanto os quatro primeiros termos são \dfrac{1}{2},\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{5}.

Passo 4

Agora vamos definir e calcular a soma parcial s_{4}.
  • Definição: a soma parcial s_{4} é s_{4}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}.
    Substituindo os valores encontrados:
s_{4}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}.
Para somar frações, escolhemos um denominador comum. Um denominador comum conveniente é 60 (múltiplo de 2,3,4,5). Convertendo cada fração:
\dfrac{1}{2}=\dfrac{30}{60},\quad \dfrac{1}{3}=\dfrac{20}{60},\quad \dfrac{1}{4}=\dfrac{15}{60},\quad \dfrac{1}{5}=\dfrac{12}{60}.
Somando numeradores:
s_{4}=\dfrac{30+20+15+12}{60}=\dfrac{77}{60}.
Verificação: 77 e 60 não têm divisor comum além de 1, então a fração está irredutível. Em decimal isso vale aproximadamente 1{,}28333\ldots.

Resposta

\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{5}\n \displaystyle s_{4}=\dfrac{77}{60}

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