Se A e B são eventos quaisquer de \Omega, prove que
P(A \cup B) \leq P(A)+P(B) .

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para quaisquer eventos A e B num espaço de probabilidade (\Omega,P), vale
P(A \cup B) \le P(A) + P(B).
Vamos usar dois axiomas básicos de P: aditividade em eventos disjuntos e monotonicidade (se E\subset F então P(E)\le P(F)).

Passo 2

Note que
A \cup B \;=\; A \;\cup\;\bigl(B \cap A^c\bigr),
onde A e B\cap A^c são disjuntos. Pelas propriedades de medida de probabilidade,
P(A \cup B) \;=\; P\bigl(A\cup (B\cap A^c)\bigr) \;=\; P(A) \;+\; P(B\cap A^c).

Passo 3

Como B\cap A^c\subset B, pela monotonicidade de P temos
P(B\cap A^c)\le P(B).
Logo
P(A \cup B) = P(A) + P(B\cap A^c) \le P(A) + P(B),
que é justamente o que queríamos provar.

Resposta

P(A \cup B) \le P(A) + P(B).

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