Se A e B são matrizes 4 \times 4 tal que \operatorname{det}(A)=2 e \operatorname{det}(B)=-1; use as propriedades do determinante para calcular:
\operatorname{det}\left(\left(A B^{t}\right)^{-1}\right)

Passo 1

O enunciado dá que A e B são matrizes 4\times 4 com \det(A)=2 e \det(B)=-1. Pede-se o valor de \det\bigl((A B^{t})^{-1}\bigr). As informações relevantes são: A é 4\times 4, B é 4\times 4, \det(A)=2 e \det(B)=-1. A expressão que precisamos avaliar envolve o produto A B^{t}, a transposta B^{t} e a inversa desse produto (A B^{t})^{-1}.

Passo 2

Primeiro ponto prático: como B é 4\times 4, a sua transposta B^{t} também é 4\times 4. Assim o produto A B^{t} é bem definido e é uma matriz quadrada 4\times 4. Para (A B^{t})^{-1} existir, precisamos que \det(A B^{t})\neq 0. Vou usar propriedades do determinante que também nos dizem quando uma matriz é invertível.

Passo 3

Propriedade multiplicativa do determinante: para duas matrizes quadradas compatíveis X e Y vale
\det(XY)=\det(X)\cdot\det(Y).
Explicação didática: o determinante mede o fator de escala de volume que a transformação linear associada à matriz aplica; aplicar Y e então X escala volumes por \det(Y) e depois por \det(X), logo o efeito combinado é o produto desses fatores. Essa propriedade é válida para todas as matrizes quadradas de mesma ordem.

Passo 4

Propriedade da transposta: para qualquer matriz quadrada M vale
\det(M^{t})=\det(M).
Explicação didática: a operação de transpor troca linhas por colunas, mas o determinante — definido como soma alternada sobre permutações ou como volume orientado — permanece o mesmo. Portanto \det(B^{t})=\det(B).

Passo 5

Aplicando as propriedades aos nossos dados, primeiro calculamos \det(A B^{t}). Usando multiplicatividade e a propriedade da transposta:
\det(A B^{t})=\det(A)\cdot\det(B^{t})=\det(A)\cdot\det(B).
Substituindo os valores fornecidos \det(A)=2 e \det(B)=-1 obtemos
\det(A B^{t})=2\cdot(-1)=-2.
Como \det(A B^{t})=-2\neq 0, a matriz A B^{t} é invertível e portanto (A B^{t})^{-1} existe.

Passo 6

Propriedade do determinante da inversa: se M é invertível então
\det(M^{-1})=\frac{1}{\det(M)}.
Explicação didática: M M^{-1}=I e \det(I)=1. Aplicando multiplicatividade \det(M)\det(M^{-1})=\det(I)=1, daí \det(M^{-1})=1/\det(M).

Passo 7

Aplicando essa propriedade a M=A B^{t} e usando o valor encontrado em
\det\bigl((A B^{t})^{-1}\bigr)=\frac{1}{\det(A B^{t})}=\frac{1}{-2}=-\frac{1}{2}.

Resposta

-\frac{1}{2}

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