Se
e
são matrizes
tal que
e
; use as propriedades do determinante para calcular:
Passo 1
O enunciado dá que
e
são matrizes
com
e
. Pede-se o valor de
. As informações relevantes são:
é
,
é
,
e
. A expressão que precisamos avaliar envolve o produto
, a transposta
e a inversa desse produto
.
Passo 2
Primeiro ponto prático: como
é
, a sua transposta
também é
. Assim o produto
é bem definido e é uma matriz quadrada
. Para
existir, precisamos que
. Vou usar propriedades do determinante que também nos dizem quando uma matriz é invertível.
Passo 3
Propriedade multiplicativa do determinante: para duas matrizes quadradas compatíveis
e
vale
Explicação didática: o determinante mede o fator de escala de volume que a transformação linear associada à matriz aplica; aplicar
e então
escala volumes por
e depois por
, logo o efeito combinado é o produto desses fatores. Essa propriedade é válida para todas as matrizes quadradas de mesma ordem.
Passo 4
Propriedade da transposta: para qualquer matriz quadrada
vale
Explicação didática: a operação de transpor troca linhas por colunas, mas o determinante — definido como soma alternada sobre permutações ou como volume orientado — permanece o mesmo. Portanto
.
Passo 5
Aplicando as propriedades aos nossos dados, primeiro calculamos
. Usando multiplicatividade e a propriedade da transposta:
Substituindo os valores fornecidos
e
obtemos
Como
, a matriz
é invertível e portanto
existe.
Passo 6
Propriedade do determinante da inversa: se
é invertível então
Explicação didática:
e
. Aplicando multiplicatividade
, daí
.
Passo 7
Aplicando essa propriedade a
e usando o valor encontrado em