Se
e
são matrizes
tal que
e
; use as propriedades do determinante para calcular:
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa. Informações:
,
e
e
são matrizes
. Pergunta: calcular
.
Passo 2
Vamos rever duas propriedades dos determinantes que usaremos (explicadas passo a passo).
Propriedade 1 — multiplicar a matriz por um escalar:
onde
é uma matriz quadrada de ordem
e
é um escalar.
Explicação didática: multiplicar uma matriz por equivale a multiplicar cada uma das
colunas (ou linhas) por
. Cada vez que multiplicamos uma coluna por
, o determinante é multiplicado por
. Fazendo isso para as
colunas, obtemos um fator
repetido
vezes, ou seja
. Por isso aparece o expoente
.
Exemplo simples para fixar: se e
é
, então
. Se
e
, então
.
Explicação didática: multiplicar uma matriz por
Exemplo simples para fixar: se
Passo 3
Aplicando a propriedade 1 ao nosso caso: aqui
,
e
(já que
é
). Então
Substituindo
obtemos
Passo 4
Calcule
passo a passo:
e
. Logo
Passo 5
Propriedade 2 — determinante da inversa:
Explicação didática: como
e
, usando a multiplicatividade do determinante temos
logo
.
Passo 6
Agora aplicamos a propriedade 2 com
. Assim
Do Passo 4 sabemos que
, portanto substituímos na fração para obter o resultado final.