Se A e B são matrizes 4 \times 4 tal que \operatorname{det}(A)=2 e \operatorname{det}(B)=-1; use as propriedades do determinante para calcular:
\operatorname{det}\left((2 A)^{-1}\right)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa. Informações: \operatorname{det}(A)=2, \operatorname{det}(B)=-1 e A e B são matrizes 4\times4. Pergunta: calcular \operatorname{det}\big((2A)^{-1}\big).

Passo 2

Vamos rever duas propriedades dos determinantes que usaremos (explicadas passo a passo).
Propriedade 1 — multiplicar a matriz por um escalar:
\operatorname{det}(cM)=c^{n}\operatorname{det}(M),
onde M é uma matriz quadrada de ordem n e c é um escalar.
Explicação didática: multiplicar uma matriz por c equivale a multiplicar cada uma das n colunas (ou linhas) por c. Cada vez que multiplicamos uma coluna por c, o determinante é multiplicado por c. Fazendo isso para as n colunas, obtemos um fator c repetido n vezes, ou seja c^{n}. Por isso aparece o expoente n.
Exemplo simples para fixar: se n=2 e M é 2\times2, então \operatorname{det}(cM)=c^{2}\operatorname{det}(M). Se \operatorname{det}(M)=5 e c=3, então \operatorname{det}(3M)=3^{2}\cdot 5=9\cdot5=45.

Passo 3

Aplicando a propriedade 1 ao nosso caso: aqui c=2, M=A e n=4 (já que A é 4\times4). Então
\operatorname{det}(2A)=2^{4}\operatorname{det}(A).
Substituindo \operatorname{det}(A)=2 obtemos
\operatorname{det}(2A)=2^{4}\cdot 2.

Passo 4

Calcule 2^{4}\cdot 2 passo a passo: 2^{4}=16 e 16\cdot 2=32. Logo
\operatorname{det}(2A)=32.

Passo 5

Propriedade 2 — determinante da inversa:
\operatorname{det}(M^{-1})=\big(\operatorname{det}(M)\big)^{-1}=\frac{1}{\operatorname{det}(M)}.
Explicação didática: como M M^{-1}=I e \operatorname{det}(I)=1, usando a multiplicatividade do determinante temos
\operatorname{det}(M)\operatorname{det}(M^{-1})=\operatorname{det}(I)=1,
logo \operatorname{det}(M^{-1})=1/\operatorname{det}(M).

Passo 6

Agora aplicamos a propriedade 2 com M=2A. Assim
\operatorname{det}\big((2A)^{-1}\big)=\frac{1}{\operatorname{det}(2A)}.
Do Passo 4 sabemos que \operatorname{det}(2A)=32, portanto substituímos na fração para obter o resultado final.

Resposta

\dfrac{1}{32}

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