Justifique se é verdadeiro ou falso.
(a) Se todos os elementos de uma linha(ou coluna) de uma matriz
são iguais a zero então
(b)
;
(c) Se multiplicarmos uma linha de uma matriz por uma constante então o determinante fica multiplicado por essa constante;
(d) Ao trocarmos a posição de duas linhas o determinante muda de sinal; O determinante de uma matriz que tem duas linhas (ou colunas) iguais é zero.
(a) Se todos os elementos de uma linha(ou coluna) de uma matriz
(b)
(c) Se multiplicarmos uma linha de uma matriz por uma constante então o determinante fica multiplicado por essa constante;
(d) Ao trocarmos a posição de duas linhas o determinante muda de sinal; O determinante de uma matriz que tem duas linhas (ou colunas) iguais é zero.
Passo 1
O enunciado pede que eu justifique, para cada item (a), (b), (c) e (d), se a afirmação é verdadeira ou falsa. As afirmações são:
(a) Se todos os elementos de uma linha (ou coluna) de uma matriz
são iguais a zero então
.
(b)
.
(c) Se multiplicarmos uma linha de uma matriz por uma constante então o determinante fica multiplicado por essa constante.
(d) Ao trocarmos a posição de duas linhas o determinante muda de sinal; O determinante de uma matriz que tem duas linhas (ou colunas) iguais é zero.
Informações dadas implicitamente:
é uma matriz quadrada
. Preciso decidir verdadeiro/falso e justificar com argumentos matemáticos (ou exemplos para ilustrar).
Passo 2
Vou lembrar/explicar de forma bem clara o que é o determinante e as propriedades fundamentais que vou usar. Existem várias formas equivalentes de definir o determinante; eu apresento duas que ajudam bastante na intuição:
Definição (fórmula de Leibniz, forma explícita): para uma matriz
,
onde
é o conjunto de todas as permutações dos índices
e
é
se
é par e
se
é ímpar.
Propriedades fundamentais (que decorrem da definição ou são usadas como axiomas equivalentes):
- Multilinearidade nas linhas: o determinante é linear em cada linha quando as outras linhas permanecem fixas. Isto é, se eu substituo a
-ésima linha por uma combinação linear (mantendo as outras linhas fixas), então
- Alternância (ou propriedade antissimétrica): se duas linhas forem iguais, então o determinante é zero. Uma forma equivalente: trocar duas linhas troca o sinal do determinante.
- Normalização:
, onde é a matriz identidade.
Também existe a expansão por cofatores (expansão de Laplace) numa linha
:
onde
é o menor (determinante da matriz obtida removendo a linha
e coluna
). Essa fórmula mostra de forma direta que se todos os
de uma linha
são zeros, então
.
Vou usar essas propriedades (multilinearidade, alternância e as fórmulas) para justificar cada item. Sempre que fizer uma demonstração com ideia geral, também vou dar um exemplo concreto 2×2 para a intuição.
Passo 3
Afirmação: “Se todos os elementos de uma linha (ou coluna) de uma matriz
são iguais a zero então
.”
Justificativa geral (usando expansão por cofatores): suponha que a linha
de
seja toda zero, ou seja, para todo
,
. Pela expansão de Laplace pela linha
temos
Como cada
, cada termo da soma é zero, logo
.
Justificativa alternativa (usando multilinearidade): a linha zero é a combinação
de qualquer vetor, e pela linearidade da função determinante na linha
obtemos
.
Exemplo 2×2 para ver na prática: seja
O determinante é
. Isso confirma a afirmação em caso simples.
Conclusão para (a): verdadeiro.
Passo 4
Afirmação: “
.”
Explicação e justificativa: escrever a definição de Leibniz para
:
Agora consideremos
, cujo elemento na posição
é
. Aplicando a mesma fórmula,
Se eu fizer a troca de variável
(note que a aplicação
é bijetora em
e
), então a soma sobre
fica uma soma sobre
e os produtos ficam iguais aos do determinante de
. Formalmente isso mostra que
.
Intuição simples: a fórmula do determinante envolve um produto de exatamente um elemento de cada linha e de cada coluna, com um sinal que depende da permutação; transpor troca “linhas por colunas”, mas como a soma na fórmula passa por todas as permutações, o valor final não muda.
Exemplo 2×2: para
temos
. A transposta é
e
.
Conclusão para (b): verdadeiro.
Passo 5
Afirmação: “Se multiplicarmos uma linha de uma matriz por uma constante então o determinante fica multiplicado por essa constante.”
Justificativa (usando multilinearidade): seja
com linhas
, e suponha que eu substitua a
-ésima linha
por
com
(ou campo em questão). Pela propriedade de linearidade do determinante em cada linha, temos
Portanto multiplicar uma linha por
multiplica o determinante por
.
Exemplo 2×2: para
se multiplicarmos a primeira linha por
obtemos
e
.
Observação prática: se multiplicarmos todas as
linhas por
, o determinante fica multiplicado por
, porque a linearidade vale separadamente para cada linha.
Conclusão para (c): verdadeiro.
Passo 6
Afirmação 1: “Ao trocarmos a posição de duas linhas o determinante muda de sinal.”
Justificativa (via permutações / alternância): trocar duas linhas corresponde a aplicar uma transposição de índices nas linhas. Na fórmula de Leibniz cada termo está associado a uma permutação e tem sinal
. Aplicar uma transposição altera a paridade da permutação (troca par/ímpar), logo multiplica por
o sinal. Portanto, ao trocar duas linhas, cada termo da soma troca de sinal e o determinante total muda de sinal:
Outra maneira muito usada: como propriedade axiomática do determinante (é alternante), a troca de duas linhas inverte o sinal.
Exemplo 2×2: para
trocando as linhas obtemos
e
.
Afirmação 2: “O determinante de uma matriz que tem duas linhas (ou colunas) iguais é zero.”
Justificativa (duas formas, ambas simples):
- Usando alternância: se duas linhas são iguais, então trocar essas duas linhas deixa a matriz exatamente igual, mas também pela propriedade anterior a troca altera o sinal do determinante. Logo o determinante deve satisfazer
, o que implica . - Ou diretamente pela propriedade de que determinante é uma forma multilinear alternante: a alternância implica que qualquer vez que duas argumentos (linhas) sejam iguais o valor é zero.
Exemplo 2×2: se
, então
.
Conclusão para (d): ambas as afirmações são verdadeiras — trocar duas linhas muda o sinal do determinante e se houver duas linhas (ou colunas) iguais então
.
Passo 7
Você conseguiu! Essas propriedades são clássicas e aparecem o tempo todo em provas: (i) linha nula → determinante zero (use expansão por cofatores), (ii)
(use a fórmula por permutações ou a simetria linhas/colunas), (iii) escalar numa linha escala o determinante (multilinearidade), (iv) troca de linhas muda sinal e linhas iguais provocam determinante zero (alternância). Se quiser, eu faço exercícios rápidos 2×2 e 3×3 para fixar cada item — isso ajuda bastante na hora da prova.
Resposta
(a) Verdadeiro.
(b) Verdadeiro.
(c) Verdadeiro.
(d) Verdadeiro; Verdadeiro.
(b) Verdadeiro.
(c) Verdadeiro.
(d) Verdadeiro; Verdadeiro.