Justifique se é verdadeiro ou falso.
(a) Se todos os elementos de uma linha(ou coluna) de uma matriz A_{n \times n} são iguais a zero então \operatorname{det} A=0 ;
(b) \operatorname{det} A=\operatorname{det} A^{T};
(c) Se multiplicarmos uma linha de uma matriz por uma constante então o determinante fica multiplicado por essa constante;
(d) Ao trocarmos a posição de duas linhas o determinante muda de sinal; O determinante de uma matriz que tem duas linhas (ou colunas) iguais é zero.

Passo 1

O enunciado pede que eu justifique, para cada item (a), (b), (c) e (d), se a afirmação é verdadeira ou falsa. As afirmações são:
(a) Se todos os elementos de uma linha (ou coluna) de uma matriz A_{n\times n} são iguais a zero então \det A=0.
(b) \det A=\det A^{T}.
(c) Se multiplicarmos uma linha de uma matriz por uma constante então o determinante fica multiplicado por essa constante.
(d) Ao trocarmos a posição de duas linhas o determinante muda de sinal; O determinante de uma matriz que tem duas linhas (ou colunas) iguais é zero.
Informações dadas implicitamente: A é uma matriz quadrada n\times n. Preciso decidir verdadeiro/falso e justificar com argumentos matemáticos (ou exemplos para ilustrar).

Passo 2

Vou lembrar/explicar de forma bem clara o que é o determinante e as propriedades fundamentais que vou usar. Existem várias formas equivalentes de definir o determinante; eu apresento duas que ajudam bastante na intuição:
Definição (fórmula de Leibniz, forma explícita): para uma matriz A=(a_{ij})_{n\times n},
\det A=\sum_{\sigma\in S_n}\operatorname{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^n a_{i,\sigma(i)},
onde S_n é o conjunto de todas as permutações dos índices \{1,\dots,n\} e \operatorname{sgn}(\sigma) é +1 se \sigma é par e -1 se \sigma é ímpar.
Propriedades fundamentais (que decorrem da definição ou são usadas como axiomas equivalentes):
  1. Multilinearidade nas linhas: o determinante é linear em cada linha quando as outras linhas permanecem fixas. Isto é, se eu substituo a i-ésima linha por uma combinação linear r_i' = \alpha r_i + \beta s_i (mantendo as outras linhas fixas), então
\det(\dots,\alpha r_i+\beta s_i,\dots)=\alpha\det(\dots,r_i,\dots)+\beta\det(\dots,s_i,\dots).
  1. Alternância (ou propriedade antissimétrica): se duas linhas forem iguais, então o determinante é zero. Uma forma equivalente: trocar duas linhas troca o sinal do determinante.
  2. Normalização: \det I_n=1, onde I_n é a matriz identidade.
Também existe a expansão por cofatores (expansão de Laplace) numa linha i:
\det A=\sum_{j=1}^n (-1)^{i+j} a_{ij} M_{ij},
onde M_{ij} é o menor (determinante da matriz obtida removendo a linha i e coluna j). Essa fórmula mostra de forma direta que se todos os a_{ij} de uma linha i são zeros, então \det A=0.
Vou usar essas propriedades (multilinearidade, alternância e as fórmulas) para justificar cada item. Sempre que fizer uma demonstração com ideia geral, também vou dar um exemplo concreto 2×2 para a intuição.

Passo 3

Afirmação: “Se todos os elementos de uma linha (ou coluna) de uma matriz A_{n\times n} são iguais a zero então \det A=0.”
Justificativa geral (usando expansão por cofatores): suponha que a linha i de A seja toda zero, ou seja, para todo j, a_{ij}=0. Pela expansão de Laplace pela linha i temos
\det A=\sum_{j=1}^n (-1)^{i+j} a_{ij} M_{ij}.
Como cada a_{ij}=0, cada termo da soma é zero, logo \det A=0.
Justificativa alternativa (usando multilinearidade): a linha zero é a combinação 0\cdot r_i de qualquer vetor, e pela linearidade da função determinante na linha i obtemos \det(\dots,0,\dots)=0.
Exemplo 2×2 para ver na prática: seja
A=\begin{pmatrix}0 & 0\\\ c & d\end{pmatrix}.
O determinante é \det A=0\cdot d-0\cdot c=0. Isso confirma a afirmação em caso simples.
Conclusão para (a): verdadeiro.

Passo 4

Afirmação: “ \det A=\det A^{T}.”
Explicação e justificativa: escrever a definição de Leibniz para \det A:
\det A=\sum_{\sigma\in S_n}\operatorname{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^n a_{i,\sigma(i)}.
Agora consideremos A^{T}, cujo elemento na posição (i,j) é a_{ji}. Aplicando a mesma fórmula,
\det A^{T}=\sum_{\sigma\in S_n}\operatorname{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^n a_{\sigma(i),i}.
Se eu fizer a troca de variável \tau=\sigma^{-1} (note que a aplicação \sigma\mapsto\sigma^{-1} é bijetora em S_n e \operatorname{sgn}(\sigma^{-1})=\operatorname{sgn}(\sigma)), então a soma sobre \sigma fica uma soma sobre \tau e os produtos ficam iguais aos do determinante de A. Formalmente isso mostra que \det A^{T}=\det A.
Intuição simples: a fórmula do determinante envolve um produto de exatamente um elemento de cada linha e de cada coluna, com um sinal que depende da permutação; transpor troca “linhas por colunas”, mas como a soma na fórmula passa por todas as permutações, o valor final não muda.
Exemplo 2×2: para
A=\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix},
temos \det A=ad-bc. A transposta é
A^{T}=\begin{pmatrix}a & c\\\ b & d\end{pmatrix},
e \det A^{T}=ad-bc=\det A.
Conclusão para (b): verdadeiro.

Passo 5

Afirmação: “Se multiplicarmos uma linha de uma matriz por uma constante então o determinante fica multiplicado por essa constante.”
Justificativa (usando multilinearidade): seja A com linhas r_1,\dots,r_n, e suponha que eu substitua a i-ésima linha r_i por \lambda r_i com \lambda\in\mathbb{R} (ou campo em questão). Pela propriedade de linearidade do determinante em cada linha, temos
\det(r_1,\dots,\lambda r_i,\dots,r_n)=\lambda\det(r_1,\dots,r_i,\dots,r_n).
Portanto multiplicar uma linha por \lambda multiplica o determinante por \lambda.
Exemplo 2×2: para
A=\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix},
se multiplicarmos a primeira linha por \lambda obtemos
A'=\begin{pmatrix}\lambda a & \lambda b\\\ c & d\end{pmatrix},
e \det A'=(\lambda a)d-(\lambda b)c=\lambda(ad-bc)=\lambda\det A.
Observação prática: se multiplicarmos todas as n linhas por \lambda, o determinante fica multiplicado por \lambda^n, porque a linearidade vale separadamente para cada linha.
Conclusão para (c): verdadeiro.

Passo 6

Afirmação 1: “Ao trocarmos a posição de duas linhas o determinante muda de sinal.”
Justificativa (via permutações / alternância): trocar duas linhas corresponde a aplicar uma transposição de índices nas linhas. Na fórmula de Leibniz cada termo está associado a uma permutação e tem sinal \operatorname{sgn}(\sigma). Aplicar uma transposição altera a paridade da permutação (troca par/ímpar), logo multiplica por -1 o sinal. Portanto, ao trocar duas linhas, cada termo da soma troca de sinal e o determinante total muda de sinal:
\det(\text{linhas trocadas})=-\det(\text{original}).
Outra maneira muito usada: como propriedade axiomática do determinante (é alternante), a troca de duas linhas inverte o sinal.
Exemplo 2×2: para
A=\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix},
trocando as linhas obtemos
A'=\begin{pmatrix}c & d\\\ a & b\end{pmatrix},
e \det A' = cb - da = -(ad-bc) = -\det A.
Afirmação 2: “O determinante de uma matriz que tem duas linhas (ou colunas) iguais é zero.”
Justificativa (duas formas, ambas simples):
  • Usando alternância: se duas linhas são iguais, então trocar essas duas linhas deixa a matriz exatamente igual, mas também pela propriedade anterior a troca altera o sinal do determinante. Logo o determinante deve satisfazer \det A = -\det A, o que implica \det A = 0.
  • Ou diretamente pela propriedade de que determinante é uma forma multilinear alternante: a alternância implica que qualquer vez que duas argumentos (linhas) sejam iguais o valor é zero.
Exemplo 2×2: se A=\begin{pmatrix}a & b\\\ a & b\end{pmatrix}, então \det A= a b - b a =0.
Conclusão para (d): ambas as afirmações são verdadeiras — trocar duas linhas muda o sinal do determinante e se houver duas linhas (ou colunas) iguais então \det A=0.

Passo 7

Você conseguiu! Essas propriedades são clássicas e aparecem o tempo todo em provas: (i) linha nula → determinante zero (use expansão por cofatores), (ii) \det A=\det A^T (use a fórmula por permutações ou a simetria linhas/colunas), (iii) escalar numa linha escala o determinante (multilinearidade), (iv) troca de linhas muda sinal e linhas iguais provocam determinante zero (alternância). Se quiser, eu faço exercícios rápidos 2×2 e 3×3 para fixar cada item — isso ajuda bastante na hora da prova.

Resposta

(a) Verdadeiro.
(b) Verdadeiro.
(c) Verdadeiro.
(d) Verdadeiro; Verdadeiro.

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