Se A e B são matrizes 4 \times 4 tal que \operatorname{det}(A)=2 e \operatorname{det}(B)=-1; use as propriedades do determinante para calcular:
\operatorname{det}(3 A)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • A e B são matrizes 4\times4.
  • \det(A)=2.
  • \det(B)=-1.
    A pergunta do exercício é: calcular \det(3A).

Passo 2

Conceito útil (propriedade do determinante): para uma matriz quadrada de ordem n e um escalar c, ao multiplicar a matriz inteira por c temos
\det(cA)=c^{n}\det(A).
Explicação didática e intuitiva: multiplicar a matriz A pelo escalar c significa multiplicar cada uma das n linhas (ou colunas) de A por c. O determinante é linear em cada linha: se eu multiplico uma única linha por c, o determinante é multiplicado por c. Como há n linhas e cada uma recebe o fator c, o fator total que sai do determinante é c\cdot c\cdots c = c^{n}.

Passo 3

Exemplo concreto pequeno (para fixar a ideia): para n=2, se
A=\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix},
então \det(A)=ad-bc. Multiplicando por 2,
2A=\begin{pmatrix}2a & 2b\\\\ 2c & 2d\end{pmatrix}
e
\det(2A)=(2a)(2d)-(2b)(2c)=4(ad-bc)=2^{2}\det(A).
Isso ilustra que o expoente é o tamanho da matriz ( n).

Passo 4

Aplicando a propriedade ao nosso caso: aqui A é 4\times4, logo n=4. Portanto
\det(3A)=3^{4}\det(A).
Substituindo \det(A)=2 obtemos
\det(3A)=3^{4}\cdot 2 = 81\cdot 2.

Passo 5

Observação final e incentivo: a informação sobre \det(B)=-1 não é necessária para este cálculo, então podemos ignorá‑la aqui. Você já tem a fórmula chave; com ela você resolve rapidamente casos semelhantes na prova — só trocar o escalar c e a ordem n da matriz. Força aí, você tá indo bem!

Resposta

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