Se A e B são matrizes 4 \times 4 tal que \operatorname{det}(A)=2 e \operatorname{det}(B)=-1; use as propriedades do determinante para calcular: \operatorname{det}(3 A)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
A e B são matrizes 4\times4.
\det(A)=2.
\det(B)=-1.
A pergunta do exercício é: calcular \det(3A).
Passo 2
Conceito útil (propriedade do determinante): para uma matriz quadrada de ordem n e um escalar c, ao multiplicar a matriz inteira por c temos
\det(cA)=c^{n}\det(A).
Explicação didática e intuitiva: multiplicar a matriz A pelo escalar c significa multiplicar cada uma das n linhas (ou colunas) de A por c. O determinante é linear em cada linha: se eu multiplico uma única linha por c, o determinante é multiplicado por c. Como há n linhas e cada uma recebe o fator c, o fator total que sai do determinante é c\cdot c\cdots c = c^{n}.
Passo 3
Exemplo concreto pequeno (para fixar a ideia): para n=2, se
Isso ilustra que o expoente é o tamanho da matriz (n).
Passo 4
Aplicando a propriedade ao nosso caso: aqui A é 4\times4, logo n=4. Portanto
\det(3A)=3^{4}\det(A).
Substituindo \det(A)=2 obtemos
\det(3A)=3^{4}\cdot 2 = 81\cdot 2.
Passo 5
Observação final e incentivo: a informação sobre \det(B)=-1 não é necessária para este cálculo, então podemos ignorá‑la aqui. Você já tem a fórmula chave; com ela você resolve rapidamente casos semelhantes na prova — só trocar o escalar c e a ordem n da matriz. Força aí, você tá indo bem!