Se
e
são
, então
.
Passo 1
O enunciado afirma que, para matrizes quadradas
e
de ordem
,
O que se pede é decidir se essa igualdade vale para todo par de matrizes
(ou seja, se a afirmação é verdadeira) e justificar rigorosamente a resposta.
Informações dadas: e
são
(qualquer
).
Pergunta explícita: a igualdade acima é verdadeira para quaisquer ?
Informações dadas:
Pergunta explícita: a igualdade acima é verdadeira para quaisquer
Passo 2
Vamos lembrar (e explicar) propriedades importantes do determinante que vamos usar:
- Propriedade 1: para qualquer matriz quadrada
vale
Isto significa que transpor uma matriz não altera seu determinante. A razão intuitiva: o determinante é (até sinal) a expressão multilinear das colunas; transpor troca linhas por colunas, e o determinante é igualmente definido por linhas ou por colunas, dando o mesmo número.
- Propriedade 2 (que é crucial aqui): o determinante NÃO é uma função linear em relação à soma de matrizes. Ou seja, geralmente
Nem podemos, em geral, extrair uma soma para dentro do determinante. Por isso não é legítimo fazer manipulações do tipo
— note que
, não
. Em outras palavras, transpor a soma é diferente de somar só um dos termos transpostos.
- Consequência óbvia e útil: se
for simétrica, isto é, , então a igualdade é trivialmente verdadeira, porque os dois lados coincidem. Mas isso é apenas um caso especial, não prova a igualdade em geral.
Passo 3
Estratégia para decidir a validade da afirmação: procurar um contraexemplo simples (menor
possível) em que os dois determinantes sejam diferentes. Se encontrarmos um par
com
, então a afirmação é falsa em geral.
Escolho
(é o caso mais simples que costuma dar contraexemplos) e tomo matrizes com entradas inteiras para facilitar as contas. Considere
Calculo também a transposta de
:
Passo 4
Agora calculo
e seu determinante. Primeiro a soma:
Determinante de uma matriz
é
. Aplicando:
Passo 5
Agora calculo
e seu determinante. A soma:
Determinante:
Passo 6
Comparando os resultados:
Os valores são diferentes (
). Portanto encontramos um contraexemplo: a igualdade não é verdadeira em geral para todas as matrizes
.
Passo 7
Conclusão e dicas para a prova (explicação didática final):
- A afirmação original é falsa em geral; basta o contraexemplo acima para demonstrar isso.
- Motivo conceitual: embora
para qualquer matriz , não se pode aplicar a transpôr só a um dos termos dentro de uma soma e esperar preservar o determinante, porque e não . Além disso, det não é linear em relação à soma de matrizes. - Casos em que a igualdade vale: se
for simétrica ( ), então automaticamente. Também vale sempre que e happen to have the same determinant for some structural reason, mas isso é um caso específico, não uma identidade geral. - Dica prática na prova: se alguém tentar usar
sem justificativa, peça um contraexemplo simples com — é uma falha comum.
Resposta
Falsa.