Se A e B são n \times n, então \operatorname{det}\left(A+B^{T}\right)=\operatorname{det}(A+B).

Passo 1

O enunciado afirma que, para matrizes quadradas A e B de ordem n,
\det\!\bigl(A+B^{T}\bigr)=\det\!\bigl(A+B\bigr).
O que se pede é decidir se essa igualdade vale para todo par de matrizes A,B (ou seja, se a afirmação é verdadeira) e justificar rigorosamente a resposta.
Informações dadas: A e B são n\times n (qualquer n).
Pergunta explícita: a igualdade acima é verdadeira para quaisquer A,B?

Passo 2

Vamos lembrar (e explicar) propriedades importantes do determinante que vamos usar:
  • Propriedade 1: para qualquer matriz quadrada M vale
\det(M^{T})=\det(M).
Isto significa que transpor uma matriz não altera seu determinante. A razão intuitiva: o determinante é (até sinal) a expressão multilinear das colunas; transpor troca linhas por colunas, e o determinante é igualmente definido por linhas ou por colunas, dando o mesmo número.
  • Propriedade 2 (que é crucial aqui): o determinante NÃO é uma função linear em relação à soma de matrizes. Ou seja, geralmente
\det(X+Y)\neq \det(X)+\det(Y).
Nem podemos, em geral, extrair uma soma para dentro do determinante. Por isso não é legítimo fazer manipulações do tipo \det(A+B^{T})=\det\bigl((A+B)^{T}\bigr)=\det(A+B) — note que (A+B)^{T}=A^{T}+B^{T}, não A+B^{T}. Em outras palavras, transpor a soma é diferente de somar só um dos termos transpostos.
  • Consequência óbvia e útil: se B for simétrica, isto é, B^{T}=B, então a igualdade é trivialmente verdadeira, porque os dois lados coincidem. Mas isso é apenas um caso especial, não prova a igualdade em geral.

Passo 3

Estratégia para decidir a validade da afirmação: procurar um contraexemplo simples (menor n possível) em que os dois determinantes sejam diferentes. Se encontrarmos um par A,B com \det(A+B^{T})\neq\det(A+B), então a afirmação é falsa em geral.
Escolho n=2 (é o caso mais simples que costuma dar contraexemplos) e tomo matrizes com entradas inteiras para facilitar as contas. Considere
A=\begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] 3 & 4\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}5 & 6 \\[4pt] 7 & 8\end{pmatrix}.
Calculo também a transposta de B:
B^{T}=\begin{pmatrix}5 & 7 \\[4pt] 6 & 8\end{pmatrix}.]

Passo 4

Agora calculo A+B e seu determinante. Primeiro a soma:
A+B=\begin{pmatrix}1+5 & 2+6 \\[4pt] 3+7 & 4+8\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}6 & 8 \\[4pt] 10 & 12\end{pmatrix}.
Determinante de uma matriz 2\times2 \begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix} é ad-bc. Aplicando:
\det(A+B)=6\cdot12-8\cdot10=72-80=-8.]

Passo 5

Agora calculo A+B^{T} e seu determinante. A soma:
A+B^{T}=\begin{pmatrix}1+5 & 2+7 \\[4pt] 3+6 & 4+8\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}6 & 9 \\[4pt] 9 & 12\end{pmatrix}.
Determinante:
\det(A+B^{T})=6\cdot12-9\cdot9=72-81=-9.]

Passo 6

Comparando os resultados:
\det(A+B)=-8,\qquad \det(A+B^{T})=-9.
Os valores são diferentes ( -8\neq-9). Portanto encontramos um contraexemplo: a igualdade não é verdadeira em geral para todas as matrizes A,B.

Passo 7

Conclusão e dicas para a prova (explicação didática final):
  • A afirmação original é falsa em geral; basta o contraexemplo acima para demonstrar isso.
  • Motivo conceitual: embora \det(M^{T})=\det(M) para qualquer matriz M, não se pode aplicar a transpôr só a um dos termos dentro de uma soma e esperar preservar o determinante, porque (A+B)^{T}=A^{T}+B^{T} e não A+B^{T}. Além disso, det não é linear em relação à soma de matrizes.
  • Casos em que a igualdade vale: se B for simétrica ( B^{T}=B), então \det(A+B^{T})=\det(A+B) automaticamente. Também vale sempre que A+B e A+B^{T} happen to have the same determinant for some structural reason, mas isso é um caso específico, não uma identidade geral.
  • Dica prática na prova: se alguém tentar usar \det(A+B^{T})=\det(A+B) sem justificativa, peça um contraexemplo simples com 2\times2 — é uma falha comum.

Resposta

Falsa.

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