Plano e regras rápidas (coisas que vou usar e explicar):
Vou transformar B em uma matriz triangular superior por operações elementares sobre linhas. Para matrizes triangulares vale a regra:
\text{o determinante de uma matriz triangular} = \prod_{i=1}^{n} a_{ii},
onde a_{ii} são os elementos da diagonal principal.
Atenção ao efeito das operações sobre o determinante:
Trocar duas linhas multiplica o determinante por -1.
Somar a uma linha um múltiplo de outra linha não altera o determinante.
Multiplicar uma linha por um escalar k multiplica o determinante por k (evitarei esse tipo de operação para não ter que acompanhar fatores).
Vou preferir trocar linhas e somar múltiplos de linhas, controlando o sinal por trocas.
Passo 3
Primeira operação: trocar R_1 com R_2 para obter um pivô 1 na primeira linha (isso facilita eliminação). Essa troca multiplica o determinante por -1.
Para eliminar a coluna 2 de forma simples, troco R_2 com R_3 para ter pivô 1 em (2,2). Essa troca multiplica o determinante por -1 novamente. Contabilizando: uma troca anterior e esta = duas trocas \Rightarrow sinal final +1 (ou seja, o produto dos sinais é (-1)\cdot(-1)=+1).
Todas as operações finais foram combinações de linhas (não mudaram o determinante) exceto as duas trocas de linhas que, juntas, multiplicaram o determinante por (-1)\cdot(-1)=+1. Ou seja, não houve mudança líquida de sinal.]
Passo 9
Como a matriz está triangular superior, o determinante é o produto dos elementos da diagonal: