Para cada sistema linear abaixo, escreva a matriz ampliada associada e, por meio de operações elementares nas linhas, determine sua forma escalonada reduzida. \left\{\begin{array}{l}2 x-y+3 z=11 \\\ 4 x-3 y+2 z=0 \\ x+y+z=6 \\\ 3 x+y+z=4\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear com quatro equações e três incógnitas e pede duas coisas: (i) escrever a matriz ampliada associada; (ii) obter, por operações elementares nas linhas, a forma escalonada reduzida (RREF) dessa matriz. As equações fornecidas (peguei todas do enunciado) são:
\begin{cases} 2x - y + 3z = 11,\\[4pt] 4x - 3y + 2z = 0,\\[4pt] x + y + z = 6,\\[4pt] 3x + y + z = 4. \end{cases}
Informações relevantes que vou usar:
Coeficientes das incógnitas x,y,z e os termos independentes (lado direito) aparecem nas equações acima.
Vou transformar o sistema em sua matriz ampliada e aplicar operações elementares nas linhas (trocar linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, somar múltiplos de uma linha em outra) até obter a forma escalonada reduzida.
A resolução começa realmente no Passo 2.]
Passo 2
Escrevo a matriz ampliada inicial usando os coeficientes das equações (peguei esses coeficientes das equações listadas no Passo 1). A matriz ampliada \![A|\mathbf{b}]\! é:
Explicando rápido: cada linha corresponde a uma equação, as três primeiras colunas são os coeficientes de x,y,z e a última coluna é o termo constante.]
Passo 3
Objetivo agora: começar a eliminação para obter pivôs (leading ones) e zerar abaixo e acima deles. É prático começar com uma linha que já tenha 1 na primeira coluna para evitar frações. A terceira linha tem esse 1, então troco a linha 1 com a linha 3:
Agora precisamos de um pivô na coluna 2. As entradas disponíveis na coluna 2 (linhas 2 a 4) são -7,\\\ -3,\\\ -2. Para evitar frações é conveniente escolher -2 como pivô (menor em módulo) — para isso troco R_2 com R_4:
Agora resta trabalhar a coluna 3. Tenho duas linhas com entradas não nulas na coluna 3: R_3 com 4 e R_4 com 5. Uso R_3 como pivô e escalo para obter pivô 1:
Verifico as condições de forma escalonada reduzida (RREF):
Cada pivô é 1.
Em cada coluna com pivô, o pivô é o único elemento não nulo (zeros acima e abaixo).
Linhas zero, se houver, estão no final.
Logo, a matriz acima está na forma escalonada reduzida. A linha zero final indica que uma das equações era linearmente dependente das outras; não há contradição (nenhuma linha do tipo (0,0,0|c) com c\neq 0), então o sistema é compatível e tem solução única porque há pivô em cada coluna de incógnita (x,y,z).