Para cada sistema linear abaixo, escreva a matriz ampliada associada e, por meio de operações elementares nas linhas, determine sua forma escalonada reduzida.
\left\{\begin{array}{l}2 x-y+3 z=11 \\\ 4 x-3 y+2 z=0 \\ x+y+z=6 \\\ 3 x+y+z=4\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear com quatro equações e três incógnitas e pede duas coisas: (i) escrever a matriz ampliada associada; (ii) obter, por operações elementares nas linhas, a forma escalonada reduzida (RREF) dessa matriz. As equações fornecidas (peguei todas do enunciado) são:
\begin{cases} 2x - y + 3z = 11,\\[4pt] 4x - 3y + 2z = 0,\\[4pt] x + y + z = 6,\\[4pt] 3x + y + z = 4. \end{cases}
Informações relevantes que vou usar:
  • Coeficientes das incógnitas x,y,z e os termos independentes (lado direito) aparecem nas equações acima.
  • Vou transformar o sistema em sua matriz ampliada e aplicar operações elementares nas linhas (trocar linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, somar múltiplos de uma linha em outra) até obter a forma escalonada reduzida.
    A resolução começa realmente no Passo 2.]

Passo 2

Escrevo a matriz ampliada inicial usando os coeficientes das equações (peguei esses coeficientes das equações listadas no Passo 1). A matriz ampliada \![A|\mathbf{b}]\! é:
\begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 & 11\\[4pt] 4 & -3 & 2 & 0\\[4pt] 1 & 1 & 1 & 6\\[4pt] 3 & 1 & 1 & 4 \end{pmatrix}.
Explicando rápido: cada linha corresponde a uma equação, as três primeiras colunas são os coeficientes de x,y,z e a última coluna é o termo constante.]

Passo 3

Objetivo agora: começar a eliminação para obter pivôs (leading ones) e zerar abaixo e acima deles. É prático começar com uma linha que já tenha 1 na primeira coluna para evitar frações. A terceira linha tem esse 1, então troco a linha 1 com a linha 3:
R_1 \leftrightarrow R_3.
Após a troca a matriz fica
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 6\\[4pt] 4 & -3 & 2 & 0\\[4pt] 2 & -1 & 3 & 11\\[4pt] 3 & 1 & 1 & 4 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Agora uso R_1 (que tem pivô 1 na coluna 1) para zerar as entradas abaixo na coluna 1. Faço operações:
R_2 \leftarrow R_2 - 4R_1,\qquad R_3 \leftarrow R_3 - 2R_1,\qquad R_4 \leftarrow R_4 - 3R_1.
Calculemos cada nova linha (faço as contas explícitas):
  • R_2 = (4,-3,2,0) - 4(1,1,1,6) = (4-4,\\\ -3-4,\\\ 2-4,\\\ 0-24) = (0,-7,-2,-24).
  • R_3 = (2,-1,3,11) - 2(1,1,1,6) = (0,-3,1,-1).
  • R_4 = (3,1,1,4) - 3(1,1,1,6) = (0,-2,-2,-14).
A matriz vira
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 6\\[4pt] 0 & -7 & -2 & -24\\[4pt] 0 & -3 & 1 & -1\\[4pt] 0 & -2 & -2 & -14 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora precisamos de um pivô na coluna 2. As entradas disponíveis na coluna 2 (linhas 2 a 4) são -7,\\\ -3,\\\ -2. Para evitar frações é conveniente escolher -2 como pivô (menor em módulo) — para isso troco R_2 com R_4:
R_2 \leftrightarrow R_4.
A matriz passa a ser
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 6\\[4pt] 0 & -2 & -2 & -14\\[4pt] 0 & -3 & 1 & -1\\[4pt] 0 & -7 & -2 & -24 \end{pmatrix}.]

Passo 6

Escalo a nova linha R_2 para tornar o pivô exatamente 1. Faço
R_2 \leftarrow \frac{1}{-2}R_2 = -\tfrac{1}{2}R_2.
Calculando:
R_2 = (0,1,1,7).
A matriz fica
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 6\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 7\\[4pt] 0 & -3 & 1 & -1\\[4pt] 0 & -7 & -2 & -24 \end{pmatrix}.]

Passo 7

Com pivô 1 em R_2 (coluna 2), zere as outras entradas na coluna 2 (acima e abaixo) usando combinações:
R_1 \leftarrow R_1 - R_2,\qquad R_3 \leftarrow R_3 + 3R_2,\qquad R_4 \leftarrow R_4 + 7R_2.
Façamos as contas:
  • R_1 = (1,1,1,6) - (0,1,1,7) = (1,0,0,-1).
  • R_3 = (0,-3,1,-1) + 3(0,1,1,7) = (0,0,4,20).
  • R_4 = (0,-7,-2,-24) + 7(0,1,1,7) = (0,0,5,25).
A matriz passa a ser
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -1\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 7\\[4pt] 0 & 0 & 4 & 20\\[4pt] 0 & 0 & 5 & 25 \end{pmatrix}.]

Passo 8

Agora resta trabalhar a coluna 3. Tenho duas linhas com entradas não nulas na coluna 3: R_3 com 4 e R_4 com 5. Uso R_3 como pivô e escalo para obter pivô 1:
R_3 \leftarrow \tfrac{1}{4}R_3 = (0,0,1,5).
A matriz fica
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -1\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 7\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 5\\[4pt] 0 & 0 & 5 & 25 \end{pmatrix}.]

Passo 9

Zero as outras entradas na coluna 3 (acima e abaixo do pivô) usando R_3:
R_2 \leftarrow R_2 - R_3,\qquad R_4 \leftarrow R_4 - 5R_3.
Calculemos:
  • R_2 = (0,1,1,7) - (0,0,1,5) = (0,1,0,2).
  • R_4 = (0,0,5,25) - 5(0,0,1,5) = (0,0,0,0).
A matriz final é
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -1\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 2\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 5\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 10

Verifico as condições de forma escalonada reduzida (RREF):
  • Cada pivô é 1.
  • Em cada coluna com pivô, o pivô é o único elemento não nulo (zeros acima e abaixo).
  • Linhas zero, se houver, estão no final.
    Logo, a matriz acima está na forma escalonada reduzida. A linha zero final indica que uma das equações era linearmente dependente das outras; não há contradição (nenhuma linha do tipo (0,0,0|c) com c\neq 0), então o sistema é compatível e tem solução única porque há pivô em cada coluna de incógnita ( x,y,z).

Resposta

\text{Matriz ampliada inicial }[A|\mathbf{b}]= \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 & 11\\[4pt] 4 & -3 & 2 & 0\\[4pt] 1 & 1 & 1 & 6\\[4pt] 3 & 1 & 1 & 4 \end{pmatrix}
\text{Forma escalonada reduzida (RREF)}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -1\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 2\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 5\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
\text{Solução: }x=-1,\quad y=2,\quad z=5çã]

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