A=B se e somente se P(A)=P(B).

Passo 1

O enunciado manda provar que
A = B Long<=ftrightarrow P(A) = P(B)
Isso é Teoria de Conjuntos. Para resolver a gente vai precisar:
  1. Definição de igualdade de conjuntos: significa que e .
  2. Definição de subconjunto: quer dizer “todo elemento de também está em ”.
  3. Definição de conjunto potência: é o conjunto de todos os subconjuntos de .
A partir do próximo passo, mãos à obra!

Passo 2

Provar a direção “ ”: se , então .
  1. Como , todo subconjunto de é subconjunto de .
    — Seja . Por definição, .
    — Mas , logo .
    — Assim .
    Isso mostra .
  2. Analogamente, todo subconjunto de vira subconjunto de , mostrando .
Juntando os dois, .

Passo 3

Provar a direção “ ”: se , então .
Vamos usar a definição de igualdade de conjuntos (duas inclusões).
  1. Mostrar .
    — Pegue um elemento qualquer .
    — Então o conjunto é subconjunto de , ou seja .
    — Como , temos .
    — Logo , o que implica .
    Isso vale para todo , então .
  2. Mostrar faz o mesmo raciocínio trocando por .
    — Pega .
    .
    — Logo , ou seja .
    Assim .
Com as duas inclusões, concluímos .

Resposta

Portanto, mostramos as duas implicações e provamos que
A = B Long<=ftrightarrow P(A) = P(B)

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