se e somente se
.
Passo 1
O enunciado manda provar que
Isso é Teoria de Conjuntos. Para resolver a gente vai precisar:
- Definição de igualdade de conjuntos:
significa que e . - Definição de subconjunto:
quer dizer “todo elemento de também está em ”. - Definição de conjunto potência:
é o conjunto de todos os subconjuntos de .
A partir do próximo passo, mãos à obra!
Passo 2
Provar a direção “
”: se
, então
.
-
Como
, todo subconjunto de é subconjunto de .
— Seja. Por definição, .
— Mas, logo .
— Assim.
Isso mostra. -
Analogamente, todo subconjunto de
vira subconjunto de , mostrando .
Juntando os dois,
.
Passo 3
Provar a direção “
”: se
, então
.
Vamos usar a definição de igualdade de conjuntos (duas inclusões).
-
Mostrar
.
— Pegue um elemento qualquer.
— Então o conjuntoé subconjunto de , ou seja .
— Como, temos .
— Logo, o que implica .
Isso vale para todo, então . -
Mostrar
faz o mesmo raciocínio trocando por .
— Pega.
—.
— Logo, ou seja .
Assim.
Com as duas inclusões, concluímos
.
Resposta
Portanto, mostramos as duas implicações e provamos que