Prove que:
ii)
(elemento neutro).
ii)
Passo 1
Beleza, aqui a gente quer provar que, num universo de conjuntos, ao intersectar qualquer conjunto
com o conjunto universal
a gente continua com
. Isso faz de
o “elemento neutro” da operação de interseção. Vamos usar:
- Definição de interseção:
. - Definição de conjunto universal: todo elemento que consideramos pertence a
. - Para mostrar igualdade de conjuntos, precisamos provar duas inclusões:
-
. -
.
-
Passo 2
Provar
.
- Pegamos um elemento qualquer
. - Pela definição de interseção, isso significa que “
e ”. - Daí já temos
. - Como isso vale para todo
em , concluímos .
Passo 3
Provar
.
- Pegamos um elemento qualquer
. - Pelo que é conjunto universal, todo elemento que consideramos está em
. Logo, . - Então
satisfaz: “ ” e “ ”. - Pela definição de interseção, isso significa
. - Como isso vale para todo
, temos .
Resposta
Juntando as duas inclusões, a gente chega em