Prove que:
ii) A cap U=A (elemento neutro).

Passo 1

Beleza, aqui a gente quer provar que, num universo de conjuntos, ao intersectar qualquer conjunto com o conjunto universal a gente continua com . Isso faz de o “elemento neutro” da operação de interseção. Vamos usar:
  • Definição de interseção: .
  • Definição de conjunto universal: todo elemento que consideramos pertence a .
  • Para mostrar igualdade de conjuntos, precisamos provar duas inclusões:
    1. .
    2. .

Passo 2

Provar .
  1. Pegamos um elemento qualquer .
  2. Pela definição de interseção, isso significa que “ e ”.
  3. Daí já temos .
  4. Como isso vale para todo em , concluímos .

Passo 3

Provar .
  1. Pegamos um elemento qualquer .
  2. Pelo que é conjunto universal, todo elemento que consideramos está em . Logo, .
  3. Então satisfaz: “ ” e “ ”.
  4. Pela definição de interseção, isso significa .
  5. Como isso vale para todo , temos .

Resposta

Juntando as duas inclusões, a gente chega em
AcapU = A

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