Se
então
.
Passo 1
Beleza, aqui a gente tem um lance de teoria de conjuntos. O enunciado diz: “Se
então
Isso é assunto de operações com conjuntos (subconjunto e diferença de conjuntos). Para mostrar que dois conjuntos são iguais, a gente costuma provar duas inclusões:
Passo 2
Provar
.
- Pegue um elemento genérico
. - Como
, a gente sabe que . - Agora, veja o conjunto
: ele tem todos os elementos que estão em mas não estão em . Como está em , com certeza não está em . - Logo,
e . Isso, por definição, significa que - Concluímos que todo
também está em . Portanto
Passo 3
Provar
.
- Pegue agora
. - Por definição de diferença, isso significa duas coisas ao mesmo tempo:
-
. -
.
-
- Mas estar fora de
quer dizer que não vale a condição “ e ”. Como já sabemos que , a única forma de cancelar “ e ” é ter . - Então chegamos em
. - Assim, todo
também está em , ou seja
Resposta
Juntando as duas inclusões, a gente conclui que