Se A subset B então A=B-(B-A).

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem um lance de teoria de conjuntos. O enunciado diz: “Se A = B - (B - A) então
Isso é assunto de operações com conjuntos (subconjunto e diferença de conjuntos). Para mostrar que dois conjuntos são iguais, a gente costuma provar duas inclusões:

Passo 2

Provar x in B - (B - A) .
  • Pegue um elemento genérico A subseteq B - (B - A) .
  • Como , a gente sabe que .
  • Agora, veja o conjunto : ele tem todos os elementos que estão em mas não estão em . Como está em , com certeza não está em .
  • Logo, e . Isso, por definição, significa que
  • Concluímos que todo também está em . Portanto

Passo 3

Provar B - (B - A) subseteq A .
  • Pegue agora .
  • Por definição de diferença, isso significa duas coisas ao mesmo tempo:
    1. .
    2. .
  • Mas estar fora de quer dizer que não vale a condição “ e ”. Como já sabemos que , a única forma de cancelar “ e ” é ter .
  • Então chegamos em .
  • Assim, todo também está em , ou seja

Resposta

Juntando as duas inclusões, a gente conclui que
A = B - (B - A)

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