Se B é uniforme (não depende da posição), mostre que ele pode ser obtido de um potencial vetor magnético, A=-(r x B)2, onde ré o vetor posição, verifique que o potencial pertence ao calibre de coulomb, isto é, nabla cdot A=0. Usando o resultado anterior, ache o potencial vetor magnético acima e abaixo de um plano de corrente superficial uniforme, Js. Assuma que a corrente flui no plano-xy, paralelo ao eixo x.

Passo 1

O enunciado quer duas coisas. Primeiro, mostrar que um campo magnético uniforme B pode ser gerado por
A = -tfrac12,rtimesB,
e que esse potencial satisfaz o calibre de Coulomb nablacdotA=0. Em seguida, usar esse resultado para achar A acima ( z>0) e abaixo ( z<0) de um plano de corrente superficial uniforme Js=Js,x no plano z=0.
Conteúdo: identidade de derivadas vetoriais para divergência e rotor, condição de contorno de Ampère para folha de corrente.

Passo 2

Mostramos que nablatimesA=B. Como B é constante, use a identidade
nablatimes(rtimesB) =(Bcdotnabla)r-B,(nablacdotr) =B-3B=-2,B
Logo,
nablatimesA =-tfrac12,nablatimes(rtimesB) =-tfrac12(-2,B) =B,
como queríamos.

Passo 3

Verificamos o calibre de Coulomb, nablacdotA=0. De fato,
nablacdotA =-tfrac12,nablacdot(rtimesB)
Mas nablacdot(rtimesB) é a divergência de um rotor (ou, alternativamente, usa-se que nablacdot(rtimesC)=0 para C constante), portanto vale zero. Assim
nablacdotA=0

Passo 4

Agora a folha de corrente no plano z=0 com densidade superficial Js=Js,x produz um salto em B. Pela condição de contorno de Ampère, simetria e levando Bto0 no infinito, obtemos
B(z>0)=+tfracmu0Js2,y, B(z<0)=-tfracmu0Js2,y

Passo 5

No “interior” de cada região B é uniforme, logo podemos usar
A=-tfrac12,rtimesB
Com r=x,x+y,y+z,z e B=pm(mu0Js/2),y, temos
rtimesB =pmtfracmu0Js2l(x,x+y,y+z,zr)timesy =pmtfracmu0Js2l(x,z-z,xr)
Assim
A(z>0) =-tfrac12l(tfracmu0Js2(x,z-z,x)r) =-tfracmu0Js4,x,z +tfracmu0Js4,z,x,
A(z<0) =-tfrac12l(-tfracmu0Js2(x,z-z,x)r) =+tfracmu0Js4,x,z -tfracmu0Js4,z,x

Resposta

Para z>0:
A = tfracmu0Js4,z,x ;-;tfracmu0Js4,x,z
Para z<0:
A = -tfracmu0Js4,z,x ;+;tfracmu0Js4,x,z

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