Se B é uniforme (não depende da posição), mostre que ele pode ser obtido de um potencial vetor magnético,
, onde ré o vetor posição, verifique que o potencial pertence ao calibre de coulomb, isto é,
. Usando o resultado anterior, ache o potencial vetor magnético acima e abaixo de um plano de corrente superficial uniforme,
. Assuma que a corrente flui no plano-xy, paralelo ao eixo x.
Passo 1
O enunciado quer duas coisas. Primeiro, mostrar que um campo magnético uniforme
pode ser gerado por
e que esse potencial satisfaz o calibre de Coulomb
. Em seguida, usar esse resultado para achar
acima (
) e abaixo (
) de um plano de corrente superficial uniforme
no plano
.
Conteúdo: identidade de derivadas vetoriais para divergência e rotor, condição de contorno de Ampère para folha de corrente.
Passo 2
Mostramos que
. Como
é constante, use a identidade
Logo,
como queríamos.
Passo 3
Verificamos o calibre de Coulomb,
. De fato,
Mas
é a divergência de um rotor (ou, alternativamente, usa-se que
para
constante), portanto vale zero. Assim
Passo 4
Agora a folha de corrente no plano
com densidade superficial
produz um salto em
. Pela condição de contorno de Ampère, simetria e levando
no infinito, obtemos
Passo 5
No “interior” de cada região
é uniforme, logo podemos usar
Com
e
, temos
Assim
Resposta
Para
:
Para
: