Um capacitor esférico tem um dielétrico líquido que ocupa metade do espaço entre os eletrodos. Os raios dos eletrodos são a e b (a<b), e a permissividade de um dos dielétricos é varepsilon0 e a do outro varepsilon1. Determine a capacitância do capacitor.

Passo 1

O enunciado fala de um capacitor esférico com eletrodos concêntricos de raios a e b, onde metade do espaço radial entre a e b é preenchida por um dielétrico de permissividade varepsilon0 e a outra metade por um dielétrico de permissividade varepsilon1. O que precisamos usar é a fórmula da capacitância de capacitor esférico e reconhecer que temos duas camadas em série.

Passo 2

Se dividirmos igualmente o espaço radial, o ponto de separação entre os dielétricos fica em
m = a + b2
Dessa forma o primeiro trecho vai de r=a até r=m com permissividade varepsilon0 e o segundo de r=m até r=b com permissividade varepsilon1.

Passo 3

A capacitância de um capacitor esférico com raios interno r1 e externo r2 imerso num dielétrico de permissividade varepsilon é
C = 4pi varepsilon ,r1,r2r2 - r1
Logo, para o trecho interno (ato m) temos
C1 = 4pi ,varepsilon0,a,mm - a,
e para o trecho externo (mto b) temos
C2 = 4pi ,varepsilon1,m,bb - m

Passo 4

Como as duas camadas estão em série, a capacitância total C satisfaz
1C = 1C1 + 1C2
Substituindo C1 e C2 e usando m = tfraca+b2, chega-se a
C = 4pi,mm - avarepsilon0,a+b - mvarepsilon1,b = 4pi,varepsilon0,varepsilon1,a,b,(a+b)(b - a),l(varepsilon1,b + varepsilon0,ar)

Resposta

C = 4pi,varepsilon0,varepsilon1,a,b,(a+b)(b - a),l(varepsilon1,b + varepsilon0,ar)

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