Questão 4 (25 pontos)
Um cilindro vertical cuja base tem área A tem altura igual a H. O cilindro não tem tampa superior e está completamente cheio de água. Um buraco de área A / 7 aparece na base do cilindro. (a) (10 pontos) Calcule a velocidade com que a água sai do buraco (supondo escoamento estacionário), em função da velocidade V com que a superficie da água é rebaixada. (b) ( 15 pontos) Calcule a velocidade V em função H .
ll F g=G M mr^2 U=-G M mr^2 P+rho g h+rho v^2 E=K+U & K=m r^22 E & A 1001=A2 N-2

Passo 1

O enunciado descreve um cilindro vertical de área de base A e altura H, aberto no topo e completamente cheio de água. Surge um orifício de área a = A/7 na base, e queremos:
a) a velocidade de saída da água v em função da velocidade de rebaixamento da superfície V;
b) a própria velocidade V em função da altura H.
Para isso vamos usar conservação de massa (continuidade) e o teorema de Bernoulli em escoamento estacionário.

Passo 2

Pela conservação de massa em escoamento incompressível e estacionário, o volume que sai pelo orifício por unidade de tempo deve igualar o volume de água que desce o nível livre no cilindro. Ou seja,
A,V ;=; a,v

Passo 3

Isolando v na equação de continuidade,
v ;=;Aa;V e como a=A7, segue v = 7,V

Passo 4

Para relacionar v com a altura H, aplicamos Bernoulli entre a superfície livre (onde a velocidade é desprezível) e o orifício:
prm atm+rho g H + tfrac12rhocdot0^2 ;=; prm atm+rho gcdot0+tfrac12rho,v^2 ;Longrightarrow; v = raiz2,g,H

Passo 5

Finalmente, combinando as duas expressões de v,
7,V ;=;raiz2,g,H Longrightarrow V = 17,raiz2,g,H

Resposta

a) v = 7,V
b) V(H) = 17,raiz2,g,H

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