(b) y^prime prime+4 y^prime+3 y=0 y(0)=2, y^prime(0)=-1.

Passo 1

O enunciado pede pra resolver a EDO homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
Conteúdo: equações diferenciais lineares
Vamos usar o método da equação característica e aplicar as condições iniciais.

Passo 2

Para começar, montamos a equação característica usando o chute da solução da forma y=e^rx, que transforma
y''+4y'+3y=0
em
r^2+4r+3=0

Passo 3

Agora resolvemos a equação quadrática r^2+4r+3=0. Aplicando a fórmula de Bhaskara ou fatorando vemos que as raízes são
r=-1e r=-3

Passo 4

Como as raízes são distintas, a solução geral da EDO é
y(x)=C1e^-x+C2e^-3x

Passo 5

Em seguida, calculamos a derivada
y'(x)=-C1e^-x-3C2e^-3x
e aplicamos as condições iniciais em x=0:
y(0)=C1+C2=2
y'(0)=-C1-3C2=-1

Passo 6

Por fim, resolvemos o sistema
C1+C2=2-C1-3C2=-1
Dessa forma obtemos C2=-tfrac12 e C1=2- C2=tfrac52.

Resposta

y(x)=tfrac52e^-x-tfrac12e^-3x

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