(b1) integral0^1 x^3raizx^2+4 d x

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral definida de uma função com raiz quadrada no denominador, ou seja, integral0^1x^3raizx^2+4,dx. O conteúdo aqui é integração por substituição, já que dentro da raiz temos x^2+4 e o numerador traz um x que lembra a derivada dessa expressão.

Passo 2

Para facilitar, usamos a substituição t = x^2 + 4. Então dt = 2x,dx, isto é, x,dx = tfracdt2. Além disso, x^2 = t - 4.

Passo 3

Reescrevendo a integral em termos de t:
integral x^3raizx^2+4,dx = integral x^2 cdot x,dxraizt = integral (t - 4)cdot tfracdt2t^1/2 = tfrac12integral (t - 4)t^-1/2,dt

Passo 4

Distribuindo e integrando termo a termo:
tfrac12integral (t^1/2 - 4t^-1/2),dt = tfrac12l(tfrac23t^3/2 - 4cdot 2t^1/2r) + C = tfrac13t^3/2 - 4t^1/2 + C
Voltando a x, o antiderivado é
F(x) = 13(x^2+4)^3/2 - 4(x^2+4)^1/2

Passo 5

Agora basta avaliar de 0 a 1:
Em x=1:
F(1)=tfrac13cdot5^3/2-4cdot5^1/2=5raiz53-4raiz5= -7raiz53
Em x=0:
F(0)=tfrac13cdot4^3/2-4cdot4^1/2=83-8=-163
Logo,
a integral é
F(1)-F(0)=l(-tfrac7raiz53r)-l(-tfrac163r)=16-7raiz53

Resposta

integral0^1 x^3raizx^2+4,dx = 16 - 7raiz53

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