Encontre a solução geral da seguinte equação diferencial linear de primeira ordem
x y^prime(x)-2 y(x)=x^2

Passo 1

Estamos com a equação diferencial x,y'(x)-2,y(x)=x^2. Essa é uma ODE linear de primeira ordem; vamos usar fator integrante para chegar à solução geral.

Passo 2

Assumindo xneq0, dividimos a equação por x para colocá-la na forma padrão y'+P(x)y=Q(x). Ficamos com y'(x)-2xy(x)=x

Passo 3

Calculamos o fator integrante mu(x)=expl(integral P(x),dxr)=expl(integral-tfrac2x,dxr)=x^-2

Passo 4

Multiplicamos toda a equação por mu(x)=x^-2 e reconhecemos que o lado esquerdo passa a ser a derivada (x^-2y(x))'. Assim, obtemos (x^-2y(x))'=x^-1

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x: x^-2y(x)=integral x^-1,dx=ln|x|+C, onde C é constante de integração.

Passo 6

Por fim, isolamos y(x) multiplicando por x^2 e encontramos a solução geral $$y(x)=x^2\bigl(\ln|x|+C\bigr).
$$

Resposta

y(x)=x^2\bigl(\ln|x|+C\bigr)

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