Calcule as seguintes integrais definidas:
(m1) integralpi / 6^pi / 3 sec ^2 t tan t d t

Passo 1

O problema pede para calcular a integral definida integralpi/6^pi/3 sec^2 t,tan t,dt. O conteúdo da matéria envolve integrais de funções trigonométricas e precisamos usar a técnica de substituição, pois vemos um produto de sec^2 t e tan t.

Passo 2

Observamos que a derivada de tan t é sec^2 t, então fazemos a substituição:
$$
u = \tan t,\quad du = \sec^2 t,dt$$
Isso simplifica o integrando para uma integral polinomial em u = tan t, du = sec^2 t,dt.

Passo 3

Ajustamos os limites de integração para u:
ul(t=tfracpi6r)=tanl(tfracpi6r)=tfrac1raiz3, ul(t=tfracpi3r)=tanl(tfracpi3r)=raiz3

Passo 4

Substituindo na integral original, ela vira
integralpi/6^pi/3 sec^2 t,tan t,dt = integral1/raiz3^raiz3 u,du
A antiderivada de u é u^2/2.

Passo 5

Avaliamos a antiderivada nos limites:
u^22|1/raiz3^raiz3 = (raiz3)^22 - (1/raiz3)^22 = 32 - 16 = 43

Resposta

tfrac43

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