(B2-2023). Ache todos os valores reais de
tais que
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Enunciado: encontrar todos os valores reais de
tais que
- Informação importante: a expressão tem denominador
, então , ou seja . Esse ponto deve ser lembrado porque não faz parte do domínio da desigualdade. - O que se pede: todos os
(exceto possíveis pontos fora do domínio) que tornam a desigualdade verdadeira.
Passo 2
Vamos colocar tudo num só lado para trabalhar com uma única fração. Subtraio
de ambos os lados:
Coloco
sobre o mesmo denominador:
Agora subtraio os numeradores (mesmo denominador):
Passo 3
Calculando o numerador:
Então a desigualdade ficou
Fatorando constantes e fatores lineares:
Passo 4
Simplifico os fatores constantes. Note que
é um número negativo. Posso dividir ambos os lados da desigualdade por
; como estou dividindo por algo negativo a desigualdade muda de sinal. Assim:
Explicando de forma simples: a desigualdade original é equivalente a pedir que a fração
seja negativa.
Passo 5
Para que uma fração seja negativa, o numerador e o denominador devem ter sinais opostos. Identifico os pontos críticos onde numerador ou denominador mudam de sinal:
- Numerador
em . - Denominador
em (lembrando que não pertence ao domínio).
Esses pontos dividem a reta em três intervalos:
,
e
. Escolho um ponto teste em cada intervalo e verifico o sinal de
.
- Para
, por exemplo : - Para
, por exemplo : - Para
, por exemplo :
Portanto a fração é negativa apenas no intervalo
.
Passo 6
Verifico os extremos: em
o numerador é zero, então
, mas queremos estritamente menor que zero, então
não é solução. Em
a expressão não está definida, então também não é solução. Logo o único intervalo que satisfaz é
.
Posso fazer uma checagem rápida no enunciado original: para
temos
confirmando que valores nesse intervalo funcionam.