(B2-2023). Ache todos os valores reais de x tais que
\frac{3 x-4}{2 x+2}>5

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Enunciado: encontrar todos os valores reais de x tais que
\frac{3x-4}{2x+2}>5.
  • Informação importante: a expressão tem denominador 2x+2, então 2x+2\neq0, ou seja x\neq-1. Esse ponto deve ser lembrado porque não faz parte do domínio da desigualdade.
  • O que se pede: todos os x\in\mathbb{R} (exceto possíveis pontos fora do domínio) que tornam a desigualdade verdadeira.

Passo 2

Vamos colocar tudo num só lado para trabalhar com uma única fração. Subtraio 5 de ambos os lados:
\frac{3x-4}{2x+2}-5>0.
Coloco 5 sobre o mesmo denominador:
\frac{3x-4}{2x+2}-\frac{5(2x+2)}{2x+2}>0.
Agora subtraio os numeradores (mesmo denominador):
\frac{3x-4-5(2x+2)}{2x+2}>0.

Passo 3

Calculando o numerador:
3x-4-5(2x+2)=3x-4-10x-10=-7x-14.
Então a desigualdade ficou
\frac{-7x-14}{2x+2}>0.
Fatorando constantes e fatores lineares:
\frac{-7(x+2)}{2(x+1)}>0.

Passo 4

Simplifico os fatores constantes. Note que -7/2 é um número negativo. Posso dividir ambos os lados da desigualdade por -7/2; como estou dividindo por algo negativo a desigualdade muda de sinal. Assim:
\frac{x+2}{x+1}<0.
Explicando de forma simples: a desigualdade original é equivalente a pedir que a fração (x+2)/(x+1) seja negativa.

Passo 5

Para que uma fração seja negativa, o numerador e o denominador devem ter sinais opostos. Identifico os pontos críticos onde numerador ou denominador mudam de sinal:
  • Numerador x+2=0 em x=-2.
  • Denominador x+1=0 em x=-1 (lembrando que x=-1 não pertence ao domínio).
Esses pontos dividem a reta em três intervalos: (-\infty,-2), (-2,-1) e (-1,\infty). Escolho um ponto teste em cada intervalo e verifico o sinal de (x+2)/(x+1).
  • Para x\in(-\infty,-2), por exemplo x=-3: x+2=-1\\ (<0),\qquad x+1=-2\\ (<0) \Rightarrow \frac{x+2}{x+1}>0.
  • Para x\in(-2,-1), por exemplo x=-1{,}5: x+2=0{,}5\\ (>0),\qquad x+1=-0{,}5\\ (<0) \Rightarrow \frac{x+2}{x+1}<0.
  • Para x\in(-1,\infty), por exemplo x=0: x+2=2\\ (>0),\qquad x+1=1\\ (>0) \Rightarrow \frac{x+2}{x+1}>0.
Portanto a fração é negativa apenas no intervalo (-2,-1).

Passo 6

Verifico os extremos: em x=-2 o numerador é zero, então \frac{x+2}{x+1}=0, mas queremos estritamente menor que zero, então x=-2 não é solução. Em x=-1 a expressão não está definida, então também não é solução. Logo o único intervalo que satisfaz é (-2,-1).
Posso fazer uma checagem rápida no enunciado original: para x=-1{,}5 temos
\frac{3(-1{,}5)-4}{2(-1{,}5)+2}=\frac{-4{,}5-4}{-3+2}=\frac{-8{,}5}{-1}=8{,}5>5,
confirmando que valores nesse intervalo funcionam.

Resposta

(-2,-1)

Exercícios relacionados