(B2-2023). As cidades A, B, C, D e E estão situadas ao longo de uma rodovia demarcada de leste para oeste. A cidade A fica no quilômetro 75. A cidade B está 135 km à leste da cidade A. A cidade C está 232 km à oeste de B, a cidade D está à igual distância de B e C, e a cidade E está 25 km à leste de D . Determine as distâncias entre as cidades B e C, entre C e D e entre
e
. Quais as duas cidades que estão mais afastadas entre si e qual a distância entre elas? Quais as duas cidades mais próximas e qual a distância entre elas? Faça um esboço da localização das cidades A, B, C, D e E através de coordenadas.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
- A cidade A fica no quilômetro
. - A cidade B está
km à leste da cidade A. - A cidade C está
km a oeste de B. - A cidade D está à igual distância de B e C (isto é, é o ponto médio entre B e C).
- A cidade E está
km à leste de D.
Perguntas do enunciado:
- Determine as distâncias entre as cidades B e C, entre C e D e entre
e . - Quais as duas cidades que estão mais afastadas entre si e qual a distância entre elas?
- Quais as duas cidades mais próximas e qual a distância entre elas?
- Faça um esboço da localização das cidades A, B, C, D e E através de coordenadas (ou seja, dê a posição de cada cidade na rodovia).
Passo 2
Escolher uma convenção de coordenadas para trabalhar (muito importante): vamos medir quilômetro como número real na reta; tomar a direção leste como positiva e oeste como negativa. Assim, a posição (coordenada) de uma cidade é o número do quilômetro onde ela está.
A posição de A já é dada:
Isto significa que, no nosso sistema,
.
Passo 3
Calcular a posição de B: B está
km a leste de A. “A leste” significa somar
à coordenada de A. Então
Fazendo a conta,
Ou seja, B fica no quilômetro
.
Passo 4
Calcular a posição de C: C está
km a oeste de B. “A oeste” significa subtrair
da coordenada de B. Então
Fazendo a conta,
Ou seja, C fica no quilômetro
(22 km a oeste do marco zero).
Passo 5
Calcular a posição de D: D está à igual distância de B e C, isto é, D é o ponto médio entre B e C. A fórmula do ponto médio entre duas coordenadas
e
é
Aplicando com
e
:
Portanto D fica no quilômetro
.
Passo 6
Calcular a posição de E: E está
km a leste de D, então
Logo E fica no quilômetro
.
Resumo das coordenadas encontradas:
Passo 7
Explicar como calcular distâncias entre duas cidades: se as cidades têm coordenadas
e
, a distância ao longo da rodovia entre elas é o valor absoluto da diferença das coordenadas:
Isso porque distância não tem sinal.
Agora calcular as distâncias pedidas.
Distância entre B e C:
Distância entre C e D:
Distância entre D e E:
Passo 8
Determinar as duas cidades mais afastadas entre si. Uma maneira rápida: a maior distância entre dois pontos numa reta ocorre entre o ponto de menor coordenada e o de maior coordenada. Das coordenadas encontradas, o menor valor é
e o maior é
. Portanto as duas cidades mais distantes são B e C, e a distância entre elas já calculada é
Passo 9
Determinar as duas cidades mais próximas entre si. Para ter certeza absoluta, calcular (didaticamente) as distâncias entre pares que possam ser candidatas a mínimo; como já temos todas as coordenadas, calculemos algumas distâncias relevantes (para ver qual é a menor):
-
-
-
-
-
-
-
- (As distâncias
, já calculadas: km e km.)
Agora comparando: o menor valor entre todas as distâncias calculadas é
km, que é
. Portanto as duas cidades mais próximas são A e D, separadas por
km.
Passo 10
Esboço da localização das cidades (lista de coordenadas e um desenho linear aproximado). Primeiro a lista clara:
Um esboço linear, em ordem do oeste para o leste (valores menores à esquerda):
C \quad A
\quad D
\quad E
\quad B
.
C
Um desenho textual aproximado (os números entre parênteses são as coordenadas em km):
Resposta
B e C:
C e D:
D e E:
C e D:
D e E:
As duas cidades mais afastadas: B e C, distância
As duas cidades mais próximas: A e D, distância
Coordenadas (posição na rodovia):