(B2-2023). As cidades A, B, C, D e E estão situadas ao longo de uma rodovia demarcada de leste para oeste. A cidade A fica no quilômetro 75. A cidade B está 135 km à leste da cidade A. A cidade C está 232 km à oeste de B, a cidade D está à igual distância de B e C, e a cidade E está 25 km à leste de D . Determine as distâncias entre as cidades B e C, entre C e D e entre D e E. Quais as duas cidades que estão mais afastadas entre si e qual a distância entre elas? Quais as duas cidades mais próximas e qual a distância entre elas? Faça um esboço da localização das cidades A, B, C, D e E através de coordenadas.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
  • A cidade A fica no quilômetro \,75\,.
  • A cidade B está 135 km à leste da cidade A.
  • A cidade C está 232 km a oeste de B.
  • A cidade D está à igual distância de B e C (isto é, é o ponto médio entre B e C).
  • A cidade E está 25 km à leste de D.
Perguntas do enunciado:
  1. Determine as distâncias entre as cidades B e C, entre C e D e entre D e E.
  2. Quais as duas cidades que estão mais afastadas entre si e qual a distância entre elas?
  3. Quais as duas cidades mais próximas e qual a distância entre elas?
  4. Faça um esboço da localização das cidades A, B, C, D e E através de coordenadas (ou seja, dê a posição de cada cidade na rodovia).

Passo 2

Escolher uma convenção de coordenadas para trabalhar (muito importante): vamos medir quilômetro como número real na reta; tomar a direção leste como positiva e oeste como negativa. Assim, a posição (coordenada) de uma cidade é o número do quilômetro onde ela está.
A posição de A já é dada:
\text{A} = 75.
Isto significa que, no nosso sistema, \text{coordenada}(A)=75.

Passo 3

Calcular a posição de B: B está 135 km a leste de A. “A leste” significa somar 135 à coordenada de A. Então
\text{coordenada}(B)=\text{coordenada}(A)+135=75+135.
Fazendo a conta,
\text{coordenada}(B)=210.
Ou seja, B fica no quilômetro \,210\,.

Passo 4

Calcular a posição de C: C está 232 km a oeste de B. “A oeste” significa subtrair 232 da coordenada de B. Então
\text{coordenada}\text{(C)}=\text{coordenada}(B)-232=210-232.
Fazendo a conta,
\text{coordenada}\text{(C)}=-22.
Ou seja, C fica no quilômetro -22 (22 km a oeste do marco zero).

Passo 5

Calcular a posição de D: D está à igual distância de B e C, isto é, D é o ponto médio entre B e C. A fórmula do ponto médio entre duas coordenadas x_1 e x_2 é
\text{ponto médio}=\frac{x_1+x_2}{2}.é
Aplicando com x_1=\text{coordenada}(B)=210 e x_2=\text{coordenada}\text{(C)}=-22:
\text{coordenada}(D)=\frac{210+(-22)}{2}=\frac{188}{2}=94.
Portanto D fica no quilômetro \,94\,.

Passo 6

Calcular a posição de E: E está 25 km a leste de D, então
\text{coordenada}(E)=\text{coordenada}(D)+25=94+25=119.
Logo E fica no quilômetro \,119\,.
Resumo das coordenadas encontradas:
\text{A}=75,\quad \text{B}=210,\quad \text{C}=-22,\quad \text{D}=94,\quad \text{E}=119.

Passo 7

Explicar como calcular distâncias entre duas cidades: se as cidades têm coordenadas x e y, a distância ao longo da rodovia entre elas é o valor absoluto da diferença das coordenadas:
\text{distância}=\left|x-y\right|.â
Isso porque distância não tem sinal.
Agora calcular as distâncias pedidas.
Distância entre B e C:
\text{dist}(B,C)=\left|\text{coordenada}(B)-\text{coordenada}\text{(C)}\right|=\left|210-(-22)\right|=\left|232\right|=232\\ \text{km}.
Distância entre C e D:
\text{dist}(C,D)=\left|{-22}-94\right|=\left|-116\right|=116\\ \text{km}.
Distância entre D e E:
\text{dist}(D,E)=\left|94-119\right|=\left|-25\right|=25\\ \text{km}.

Passo 8

Determinar as duas cidades mais afastadas entre si. Uma maneira rápida: a maior distância entre dois pontos numa reta ocorre entre o ponto de menor coordenada e o de maior coordenada. Das coordenadas encontradas, o menor valor é \text{coordenada}\text{(C)}=-22 e o maior é \text{coordenada}(B)=210. Portanto as duas cidades mais distantes são B e C, e a distância entre elas já calculada é
\text{dist}(B,C)=232\\ \text{km}.

Passo 9

Determinar as duas cidades mais próximas entre si. Para ter certeza absoluta, calcular (didaticamente) as distâncias entre pares que possam ser candidatas a mínimo; como já temos todas as coordenadas, calculemos algumas distâncias relevantes (para ver qual é a menor):
  • \text{dist}(A,B)=\left|75-210\right|=135\\ \text{km}.
  • \text{dist}(A,C)=\left|75-(-22)\right|=97\\ \text{km}.
  • \text{dist}(A,D)=\left|75-94\right|=19\\ \text{km}.
  • \text{dist}(A,E)=\left|75-119\right|=44\\ \text{km}.
  • \text{dist}(B,D)=\left|210-94\right|=116\\ \text{km}.
  • \text{dist}(B,E)=\left|210-119\right|=91\\ \text{km}.
  • \text{dist}(C,E)=\left|-22-119\right|=141\\ \text{km}.
  • (As distâncias \text{dist}(C,D), \text{dist}(D,E) já calculadas: 116 km e 25 km.)
Agora comparando: o menor valor entre todas as distâncias calculadas é \,19 km, que é \text{dist}(A,D). Portanto as duas cidades mais próximas são A e D, separadas por 19 km.

Passo 10

Esboço da localização das cidades (lista de coordenadas e um desenho linear aproximado). Primeiro a lista clara:
\text{A}:75,\quad \text{B}:210,\quad \text{C}:-22,\quad \text{D}:94,\quad \text{E}:119.
Um esboço linear, em ordem do oeste para o leste (valores menores à esquerda):
C \,(-22) \quad A \,(75) \quad D \,(94) \quad E \,(119) \quad B \,(210).
Um desenho textual aproximado (os números entre parênteses são as coordenadas em km):
\text{C}(-22)\\ \\ \longrightarrow\\ \\ \text{A}(75)\\ \longrightarrow\\ \text{D}(94)\\ \longrightarrow\\ \text{E}(119)\\ \longrightarrow\\ \text{B}(210)

Resposta

B e C: 232\\ \text{km}
C e D: 116\\ \text{km}
D e E: 25\\ \text{km}
As duas cidades mais afastadas: B e C, distância 232\\ \text{km}
As duas cidades mais próximas: A e D, distância 19\\ \text{km}
Coordenadas (posição na rodovia): \text{A}=75,\\ \text{B}=210,\\ \text{C}=-22,\\ \text{D}=94,\\ \text{E}=119.

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