Complete quadrados e ache as raízes das equações
x^{2}-2 a x+a^{2}-1=0.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Completar o quadrado da expressão x^{2}-2 a x+a^{2}-1.
  • Achar as raízes da equação x^{2}-2 a x+a^{2}-1=0.
Informações dadas:
  • A expressão é um polinômio quadrático em x com parâmetro a (assume-se a\in\mathbb{R}, a não foi restrito).
  • Coeficientes identificáveis: coeficiente de x^{2} é 1; coeficiente de x é -2a; termo constante é a^{2}-1.

Passo 2

Explicando o método de completar o quadrado (passo a passo e com intuição):
  • A ideia: transformar a parte quadrática e a parte linear em um quadrado perfeito envolvendo (x-\text{algo})^{2}, porque é muito mais fácil resolver quando está numa forma de quadrado.
  • Para um trinômio x^{2}+bx+c, completar o quadrado envolve escrever x^{2}+bx como (x+\tfrac{b}{2})^{2}-\big(\tfrac{b}{2}\big)^{2}. Aqui b é o coeficiente de x.
Aplique isso ao nosso polinômio \,x^{2}-2 a x+a^{2}-1.
  • O termo em x tem coeficiente b=-2a. Então \tfrac{b}{2}=\tfrac{-2a}{2}=-a.
  • Assim, x^{2}-2ax pode ser escrito como (x-a)^{2}-a^{2}, porque (x-a)^{2}=x^{2}-2ax+a^{2}.
  • Agora substituindo na expressão inteira: x^{2}-2 a x+a^{2}-1 = (x-a)^{2}-a^{2}+a^{2}-1 = (x-a)^{2}-1.
Portanto a forma completada do quadrado é
x^{2}-2 a x+a^{2}-1 = (x-a)^{2}-1.

Passo 3

Resolver a equação usando a forma completada:
  • Partimos de x^{2}-2 a x+a^{2}-1=0.
  • Substituindo a forma completada: (x-a)^{2}-1=0.
  • Isolando o quadrado: (x-a)^{2}=1.
  • Ao tirar raiz quadrada dos dois lados, lembrando de considerar os dois sinais, obtemos x-a=\pm 1.
  • Portanto as soluções são x=a+1\quad\text{e}\quad x=a-1.
Explicação do passo “tirar raiz”: se y^{2}=1 então y=1 ou y=-1; aqui y=x-a.

Passo 4

Verificação alternativa (fórmula de Bhaskara) — bom para conferir e também para aprender outro caminho:
  • Identificamos os coeficientes do polinômio Ax^{2}+Bx+C: A=1,\qquad B=-2a,\qquad C=a^{2}-1.
  • Discriminante: \Delta = B^{2}-4AC = (-2a)^{2}-4\cdot1\cdot(a^{2}-1)=4a^{2}-4a^{2}+4=4.
  • Como \sqrt{\Delta}=2, a fórmula das raízes dá x=\frac{-B\pm\sqrt{\Delta}}{2A}=\frac{2a\pm 2}{2}=a\pm 1,
confirmando o resultado anterior. Observação: \Delta=4>0 para todo a, então as raízes são sempre reais e distintas para qualquer a\in\mathbb{R}.

Passo 5

Exemplo numérico rápido para fixar (só para solidificar o raciocínio):
  • Se a=3, as raízes seriam x=3+1=4 e x=3-1=2.
  • Substituindo x=4 em x^{2}-2ax+a^{2}-1: 4^{2}-2\cdot 3\cdot 4+3^{2}-1 = 16-24+9-1=0,
funcionou. Mesmo para outro a vai funcionar — é geral.
Bom trabalho! Você agora sabe completar o quadrado aqui e tem duas maneiras (completar o quadrado e Bhaskara) para resolver esse tipo de equação.

Resposta

x=a+1
x=a-1

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