Complete quadrados e ache as raízes das equações
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Completar o quadrado da expressão
. - Achar as raízes da equação
.
Informações dadas:
- A expressão é um polinômio quadrático em
com parâmetro (assume-se , a não foi restrito). - Coeficientes identificáveis: coeficiente de
é ; coeficiente de é ; termo constante é .
Passo 2
Explicando o método de completar o quadrado (passo a passo e com intuição):
- A ideia: transformar a parte quadrática e a parte linear em um quadrado perfeito envolvendo
, porque é muito mais fácil resolver quando está numa forma de quadrado. - Para um trinômio
, completar o quadrado envolve escrever como . Aqui é o coeficiente de .
Aplique isso ao nosso polinômio
.
- O termo em
tem coeficiente . Então . - Assim,
pode ser escrito como , porque - Agora substituindo na expressão inteira:
Portanto a forma completada do quadrado é
Passo 3
Resolver a equação usando a forma completada:
- Partimos de
- Substituindo a forma completada:
- Isolando o quadrado:
- Ao tirar raiz quadrada dos dois lados, lembrando de considerar os dois sinais, obtemos
- Portanto as soluções são
Explicação do passo “tirar raiz”: se
então
ou
; aqui
.
Passo 4
Verificação alternativa (fórmula de Bhaskara) — bom para conferir e também para aprender outro caminho:
- Identificamos os coeficientes do polinômio
: - Discriminante:
- Como
, a fórmula das raízes dá
confirmando o resultado anterior. Observação:
para todo
, então as raízes são sempre reais e distintas para qualquer
.
Passo 5
Exemplo numérico rápido para fixar (só para solidificar o raciocínio):
- Se
, as raízes seriam e . - Substituindo
em :
funcionou. Mesmo para outro
vai funcionar — é geral.
Bom trabalho! Você agora sabe completar o quadrado aqui e tem duas maneiras (completar o quadrado e Bhaskara) para resolver esse tipo de equação.