Em uma bacia hidrográfica, cujo solo apresenta os valores de \mathrm{f} 0=200 \mathrm{~mm} / \mathrm{h}, \mathrm{fc}=12 \mathrm{~mm} / \mathrm{h} e \mathrm{k}=2 \mathrm{~h}^{-1}, ocorreu a seguinte chuva:
Intervalo de
tempo (h)
0-1 1-2 2-3 3-4 4-5
Precipitação (mm) 5 15 20 25 15
Determinar a parcela infiltrada e a chuva excedente (chuva que escoa superficialmente) utilizando o método de Horton

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (vou listar exatamente o que foi fornecido):
  • Capacidade inicial de infiltração: f_0 = 200\\ \mathrm{mm/h}.
  • Capacidade de infiltração final (assinotrópica): f_c = 12\\ \mathrm{mm/h}.
  • Constante de decaimento: k = 2\\ \mathrm{h}^{-1}.
  • Chuva distribuída em intervalos de 1 hora:
    • 0\text{–}1\\ \text{h}:\\\ 5\\ \mathrm{mm}
    • 1\text{–}2\\ \text{h}:\\\ 15\\ \mathrm{mm}
    • 2\text{–}3\\ \text{h}:\\\ 20\\ \mathrm{mm}
    • 3\text{–}4\\ \text{h}:\\\ 25\\ \mathrm{mm}
    • 4\text{–}5\\ \text{h}:\\\ 15\\ \mathrm{mm}
O que o problema pede:
  • Determinar a parcela infiltrada e a chuva excedente (escoa superficial) usando o método de Horton.

Passo 2

O método de Horton descreve a capacidade de infiltração do solo decaindo exponencialmente durante a chuva. A fórmula da capacidade de infiltração em função do tempo desde o início da chuva é
f(t)=f_c+(f_0-f_c)e^{-k t},
onde:
  • f(t) é a capacidade de infiltração em \mathrm{mm/h} no instante t (horas desde o começo da chuva);
  • f_0 é a capacidade inicial ( \mathrm{mm/h});
  • f_c é a capacidade final constante ( \mathrm{mm/h});
  • k é a constante de decaimento ( \mathrm{h}^{-1}).
Regra prática para chuva de intensidade constante numa hora: se a capacidade f(t) for maior que a intensidade de chuva i durante todo o intervalo, então toda a chuva infiltra (não há escoamento). Se f(t) for menor que i durante todo o intervalo, a infiltração no intervalo é a integral de f(t) no intervalo; o excesso vira escoamento. Se houver travessia (isto é, f cai abaixo de i em algum instante dentro do intervalo), faz-se a divisão do intervalo em duas partes (antes e depois da travessia) e integra-se adequadamente.
Para acelerar os cálculos nesta chuva com intervalos de 1 hora e intensidade constante em cada intervalo, a infiltração em um intervalo [t_0,t_1] quando f(t) determina a infiltração é dada por
\int_{t_0}^{t_1} f(t)\,dt = f_c (t_1-t_0) + \frac{f_0-f_c}{k}\bigl(e^{-k t_0}-e^{-k t_1}\bigr).
Vou usar essa expressão quando for o caso.
Nota: aqui o tempo t é contado desde o início da chuva (hora zero).

Passo 3

Calcular f(t) nos instantes inteiros t=0,1,2,3,4,5 (esses valores ajudam a decidir em cada hora se f(t) fica acima ou abaixo da intensidade da chuva).
Primeiro calcule o termo (f_0-f_c)=200-12=188 e \dfrac{f_0-f_c}{k}=\dfrac{188}{2}=94.
Agora os valores exponenciais (aproximações suficientes para a prova):
\begin{aligned} e^{-2} &\approx 0,1353352832,\\\ e^{-4} &\approx 0,0183156389,\\\ e^{-6} &\approx 0,0024787522,\\\ e^{-8} &\approx 0,0003354626,\\\ e^{-10} &\approx 0,00004539993. \end{aligned}
Calcule f(t):
\begin{aligned} f(0) &= f_c + 188\cdot e^{0} = 12 + 188 = 200\\ \mathrm{mm/h},\\[4pt] f(1) &= 12 + 188\,e^{-2}\approx 12 + 188\cdot0,1353353 \approx 37,443\\ \mathrm{mm/h},\\[4pt] f(2) &= 12 + 188\,e^{-4}\approx 12 + 188\cdot0,0183156 \approx 15,443\\ \mathrm{mm/h},\\[4pt] f(3) &= 12 + 188\,e^{-6}\approx 12 + 188\cdot0,00247875 \approx 12,466\\ \mathrm{mm/h},\\[4pt] f(4) &= 12 + 188\,e^{-8}\approx 12 + 188\cdot0,00033546 \approx 12,063\\ \mathrm{mm/h},\\[4pt] f(5) &= 12 + 188\,e^{-10}\approx 12 + 188\cdot0,00004540 \approx 12,009\\ \mathrm{mm/h}. \end{aligned}
Interpretação rápida: a capacidade cai muito rápido nas primeiras horas e aproxima-se de f_c=12\\ \mathrm{mm/h}.]

Passo 4

Hora 0\text{–}1 (intensidade i=5\\ \mathrm{mm/h}):
  • f(0)=200>5 e f(1)\approx37,443>5. Como a capacidade é maior que a intensidade durante todo o intervalo, toda a chuva infiltra.
  • Infiltração no intervalo: 5\\ \mathrm{mm}.
  • Escoamento no intervalo: 0\\ \mathrm{mm}.

Passo 5

Hora 1\text{–}2 (intensidade i=15\\ \mathrm{mm/h}):
  • f(1)\approx37,443>15 e f(2)\approx15,443>15. A capacidade é maior que a intensidade durante todo o intervalo, logo toda a chuva infiltra.
  • Infiltração no intervalo: 15\\ \mathrm{mm}.
  • Escoamento no intervalo: 0\\ \mathrm{mm}.

Passo 6

Hora 2\text{–}3 (intensidade i=20\\ \mathrm{mm/h}):
  • f(2)\approx15,443<20 e f(3)\approx12,466<20. A capacidade é menor que a intensidade durante todo o intervalo: a infiltração real é a integral de f(t) de t=2 a t=3.
  • Usando a fórmula da integral:
\begin{aligned} \text{Infiltração}_{2-3} &= f_c(1) + \frac{f_0-f_c}{k}\bigl(e^{-k\cdot2}-e^{-k\cdot3}\bigr)\\[4pt] &= 12 + 94\bigl(e^{-4}-e^{-6}\bigr)\\[4pt] &\approx 12 + 94\bigl(0,01831564-0,00247875\bigr)\\[4pt] &\approx 12 + 94\cdot0,01583689 \approx 13,4887\\ \mathrm{mm}. \end{aligned}çã
  • Escoamento no intervalo: 20 - 13,4887 \approx 6,5113\\ \mathrm{mm}.]

Passo 7

Hora 3\text{–}4 (intensidade i=25\\ \mathrm{mm/h}):
  • f(3)\approx12,466<25 e f(4)\approx12,063<25. Novamente f(t)<i durante todo o intervalo.
  • Infiltração:
\begin{aligned} \text{Infiltração}_{3-4} &=12 + 94\bigl(e^{-6}-e^{-8}\bigr)\\[4pt] &\approx 12 + 94\bigl(0,00247875-0,00033546\bigr)\\[4pt] &\approx 12 + 94\cdot0,00214329 \approx 12,20147\\ \mathrm{mm}. \end{aligned}çã
  • Escoamento no intervalo: 25 - 12,20147 \approx 12,79853\\ \mathrm{mm}.]

Passo 8

Hora 4\text{–}5 (intensidade i=15\\ \mathrm{mm/h}):
  • f(4)\approx12,063<15 e f(5)\approx12,009<15. f(t)<i durante todo o intervalo.
  • Infiltração:
\begin{aligned} \text{Infiltração}_{4-5} &=12 + 94\bigl(e^{-8}-e^{-10}\bigr)\\[4pt] &\approx 12 + 94\bigl(0,00033546-0,00004540\bigr)\\[4pt] &\approx 12 + 94\cdot0,00029006 \approx 12,02727\\ \mathrm{mm}. \end{aligned}çã
  • Escoamento no intervalo: 15 - 12,02727 \approx 2,97273\\ \mathrm{mm}.]

Passo 9

Somar as parcelas hora a hora para obter os totais:
  • Infiltrações por intervalo (aprox.):
    • 0\text{–}1:\\\ 5,000\\ \mathrm{mm}
    • 1\text{–}2:\\\ 15,000\\ \mathrm{mm}
    • 2\text{–}3:\\\ 13,4887\\ \mathrm{mm}
    • 3\text{–}4:\\\ 12,20147\\ \mathrm{mm}
    • 4\text{–}5:\\\ 12,02727\\ \mathrm{mm}
Total infiltrado:
5 + 15 + 13,488667 + 12,201469 + 12,027266 \approx 57,71740\\ \mathrm{mm}.
Total de chuva: 5+15+20+25+15=80\\ \mathrm{mm}.
Total de chuva excedente (escoamento) = chuva total - infiltração total:
80 - 57,71740 \approx 22,28260\\ \mathrm{mm}.

Resposta

Parcela infiltrada total: 57,717\\ \mathrm{mm}
Chuva excedente total: 22,283\\ \mathrm{mm}

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