Gasolina \left(\rho=680 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}\right) é bombeada através de uma tubulação com 12 cm de diâmetro e 10 km de comprimento a uma vazão constante de 75 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{h} . \mathrm{Na} entrada, a gasolina é bombeada a uma pressão de 24 atm , enquanto a saída encontra-se à pressão atmosférica e 150 m mais alta que a entrada. Estime a perda de carga \left(h_{p}\right) nesta tubulação.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede.
  • Densidade da gasolina: \rho=680\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  • Diâmetro da tubulação: D=12\\ \mathrm{cm} = 0,12\\ \mathrm{m}.
  • Comprimento da tubulação: L=10\\ \mathrm{km} = 10000\\ \mathrm{m}.
  • Vazão volumétrica constante: Q=75\\ \mathrm{m^{3}/h}.
  • Pressão na entrada (bombeada): P_{\text{in}}=24\\ \text{atm}.
  • Pressão na saída: P_{\text{out}}=1\\ \text{atm} (pressão atmosférica).
  • A saída encontra-se 150\\ \mathrm{m} mais alta que a entrada, ou seja a diferença de cota é z_{\text{out}}-z_{\text{in}}=150\\ \mathrm{m}.
O que é pedido: estimar a perda de carga h_{p} na tubulação, em metros de coluna de fluido (m).

Passo 2

Converter a vazão para unidades SI (m³/s) e calcular a área da seção transversal e a velocidade média.
  • Converter Q:
Q=\frac{75\\ \mathrm{m^{3}/h}}{3600\\ \mathrm{s/h}}= \frac{75}{3600}\\ \mathrm{m^{3}/s}=0,0208333\\ \mathrm{m^{3}/s}.
  • Área da seção circular (A):
A=\frac{\pi D^{2}}{4}=\frac{\pi (0,12)^{2}}{4}=\pi\cdot0{,}0036\approx0{,}0113097\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Velocidade média v:
v=\frac{Q}{A}=\frac{0{,}0208333}{0{,}0113097}\approx1{,}842\\ \mathrm{m/s}.
Observação: calculei Q, A e v para poder avaliar se a contribuição do termo de velocidade é relevante e para interpretação física. Todos os números acima estão em unidades SI.

Passo 3

Avaliar o termo de energia cinética (cabeça cinética) para ver se é significativo e para justificar cancelamento no Bernoulli.
  • Cabeça de velocidade:
\frac{v^{2}}{2g}=\frac{(1{,}842)^{2}}{2\cdot9{,}81}\approx\frac{3{,}393}{19{,}62}\approx0{,}173\\ \mathrm{m}.
Comentário didático: a cabeça de velocidade é a contribuição de energia cinética por unidade de peso do fluido. Como a seção é a mesma na entrada e na saída, esse termo aparece dos dois lados da equação de Bernoulli e, portanto, cancela exatamente. Além disso, numericamente é muito pequeno (≈ 0{,}17\\ \mathrm{m}) comparado com as outras contribuições de centenas de metros, então sua influência é desprezível no balanço final.

Passo 4

Escrever a equação de Bernoulli entre a seção de entrada e a de saída e isolar h_{p}.
Bernoulli (forma energética, sem perdas localizadas adicionais) entre entrada (1) e saída (2):
\frac{P_{1}}{\rho g}+z_{1}+\frac{v_{1}^{2}}{2g}-h_{p}=\frac{P_{2}}{\rho g}+z_{2}+\frac{v_{2}^{2}}{2g}.
Como a tubulação tem mesma área em entrada e saída, v_{1}=v_{2}=v e os termos \dfrac{v^{2}}{2g} cancelam. Reorganizando para h_{p}:
h_{p}=\frac{P_{1}-P_{2}}{\rho g}+z_{1}-z_{2}.
Aqui:
  • P_{1}-P_{2} é a diferença de pressão entre entrada e saída,
  • z_{1}-z_{2} = - (z_{2}-z_{1}) incorpora a elevação da saída em relação à entrada.

Passo 5

Calcular a diferença de pressão em pascal e o correspondente termo de cabeça por pressão.
  • Converter a diferença de pressão: P_{1}-P_{2}=(24-1)\\ \text{atm}=23\\ \text{atm}.
  • Como 1\\ \text{atm}=101325\\ \mathrm{Pa},
P_{1}-P_{2}=23\times101325=2\,330\,475\\ \mathrm{Pa}.
  • Cabeça equivalente à diferença de pressão:
\frac{P_{1}-P_{2}}{\rho g}=\frac{2\,330\,475}{680\cdot9{,}81}=\frac{2\,330\,475}{6\,670{,}8}\approx349{,}35\\ \mathrm{m}.
Explicação didática: dividir a diferença de pressão por \rho g transforma a energia por volume (Pa = N/m²) em energia por peso do fluido, ou seja metros de coluna de fluido — exatamente o que queremos para perdas de carga.

Passo 6

Calcular o termo de elevação e obter h_{p}.
  • Diferença de cota:
z_{1}-z_{2}=-150\\ \mathrm{m}\quad\text{(porque a saída é 150 m mais alta que a entrada).}íé
  • Aplicando a fórmula de h_{p}:
h_{p}=\frac{P_{1}-P_{2}}{\rho g}+z_{1}-z_{2}\approx349{,}35-150=199{,}35\\ \mathrm{m}.
Comentário final didático: isso significa que a bomba teve que fornecer energia equivalente a elevar uma coluna de gasolina de aproximadamente 199{,}35\\ \mathrm{m} ao longo da tubulação — essa é a perda de carga por atrito (e outras dissipações reunidas) que a tubulação e o escoamento impõem.

Passo 7

Verificação rápida e arredondamento razoável.
  • A cabeça de velocidade era muito pequena ( \approx0{,}17\\ \mathrm{m}) e cancelou; portanto o resultado é dominado pela diferença de pressão fornecida pela bomba e pela elevação.
  • Arredondando para três algarismos significativos:
h_{p}\approx199{,}4\\ \mathrm{m}.
Força extra de ânimo: tá indo bem — é isso que o professor espera na prova: converter unidades com cuidado, usar Bernoulli e interpretar termos.

Resposta

h_{p}\approx199{,}4\\ \mathrm{m}

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