Calcule
\int_{0}^{2} \int_{0}^{\sqrt{4-x^{2}}} 1 d y d x
e interprete o resultado geometricamente.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{0}^{2} \int_{0}^{\sqrt{4-x^{2}}} 1\, dy\, dx
e interpretar geometricamente o resultado. As informações dadas são:
  • A função integranda é 1.
  • O limite interno é y variando de 0 até \sqrt{4-x^{2}}.
  • O limite externo é x variando de 0 até 2.
    Portanto a região de integração é
R=\{(x,y)\mid 0\le x\le 2,\;0\le y\le \sqrt{4-x^{2}}\}.

Passo 2

Interpretação geométrica do integrando: a integral dupla de uma função f(x,y) sobre uma região R mede o “volume” sob a superfície z=f(x,y) e acima de R. Quando f(x,y)=1, esse “volume” é exatamente a área da região R, porque a altura é constante igual a 1. Um exemplo simples: \int_{a}^{b}\int_{c}^{d} 1\,dy\,dx=(b-a)(d-c), que é a área do retângulo. Logo, calcular
\int_{0}^{2} \int_{0}^{\sqrt{4-x^{2}}} 1\, dy\, dx
é o mesmo que calcular a área da região R definida acima.

Passo 3

Faço primeiro a integral interna em y. Integrando 1 em relação a y y. Avaliando entre as bordas,
\int_{0}^{\sqrt{4-x^{2}}} 1\, dy = \left. y \right|_{0}^{\sqrt{4-x^{2}}} = \sqrt{4-x^{2}}.
Portanto a integral dupla reduz-se à integral de uma variável
\int_{0}^{2} \sqrt{4-x^{2}}\, dx.

Passo 4

Interpretação geométrica dessa integral unidimensional: a função y=\sqrt{4-x^{2}} é a porção superior do círculo de raio 2 centrado na origem, e integrar de x=0 a x=2 dá a área abaixo desse arco no primeiro quadrante. Ou seja, a região R é um quarto do disco de raio 2. A área do disco de raio 2 é \pi\cdot 2^{2}=4\pi, logo a área do quarto de disco é
\frac{1}{4}\cdot 4\pi=\pi.

Passo 5

Para verificar por cálculo (método analítico) faço a substituição trigonométrica x=2\sin\theta. Então dx=2\cos\theta\, d\theta e
\sqrt{4-x^{2}}=\sqrt{4-4\sin^{2}\theta}=2\cos\theta.
Os limites mudam: x=0\Rightarrow\theta=0, x=2\Rightarrow\theta=\tfrac{\pi}{2}. Assim
\int_{0}^{2}\sqrt{4-x^{2}}\,dx=\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} (2\cos\theta)\cdot(2\cos\theta)\, d\theta =\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} 4\cos^{2}\theta\, d\theta.
Uso a identidade \cos^{2}\theta=\tfrac{1+\cos 2\theta}{2} para obter
\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} 4\cos^{2}\theta\, d\theta =\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} (2+2\cos 2\theta)\, d\theta =\left[2\theta+\sin 2\theta\right]_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}=2\cdot\tfrac{\pi}{2}+0=\pi.
Isso confirma o resultado geométrico.

Passo 6

Resumo e interpretação final: a integral mede a área da região no primeiro quadrante limitada pelo eixo x, pelo eixo y e pelo círculo x^{2}+y^{2}=4. Essa região é um quarto do círculo de raio 2, portanto sua área é \pi. Força aí — você já sabe interpretar integrais duplas de 1 como áreas e também como integráveis por substituição trigonométrica!

Resposta

\pi

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