Calcule
e interprete o resultado geometricamente.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
e interpretar geometricamente o resultado. As informações dadas são:
- A função integranda é
. - O limite interno é
variando de até . - O limite externo é
variando de até .
Portanto a região de integração é
Passo 2
Interpretação geométrica do integrando: a integral dupla de uma função
sobre uma região
mede o “volume” sob a superfície
e acima de
. Quando
, esse “volume” é exatamente a área da região
, porque a altura é constante igual a
. Um exemplo simples:
, que é a área do retângulo. Logo, calcular
é o mesmo que calcular a área da região
definida acima.
Passo 3
Faço primeiro a integral interna em
. Integrando
em relação a
dá
. Avaliando entre as bordas,
Portanto a integral dupla reduz-se à integral de uma variável
Passo 4
Interpretação geométrica dessa integral unidimensional: a função
é a porção superior do círculo de raio
centrado na origem, e integrar de
a
dá a área abaixo desse arco no primeiro quadrante. Ou seja, a região
é um quarto do disco de raio
. A área do disco de raio
é
, logo a área do quarto de disco é
Passo 5
Para verificar por cálculo (método analítico) faço a substituição trigonométrica
. Então
e
Os limites mudam:
,
. Assim
Uso a identidade
para obter
Isso confirma o resultado geométrico.
Passo 6
Resumo e interpretação final: a integral mede a área da região no primeiro quadrante limitada pelo eixo
, pelo eixo
e pelo círculo
. Essa região é um quarto do círculo de raio
, portanto sua área é
. Força aí — você já sabe interpretar integrais duplas de
como áreas e também como integráveis por substituição trigonométrica!