A bactéria X -II pode ser descrita por uma equação de Monod simples com \mu \mathrm{máx}=0,8 \mathrm{~h}^{-1}, \mathrm{Ks}=4 g / \mathrm{dm}^{3}, \mathrm{Y} p / \mathrm{x}=0,2á e Ys / \mathrm{x}=2. O processo é conduzido em um CSTBR no qual a vazão de alimentação ė de 1000 \mathrm{dm}^{3} / \mathrm{h} e a concentração de substrato é igual a 10 \mathrm{~g} / \mathrm{dm}^{3}.
a) Qual o tamanho do fermentador necessário para que ocorra 90 \% de conversìo do substrato? Qual a concentração de células na saida?
b) Determine, caso possivel, a vazão volumétrica na qual o arraste ocorre.

Passo 1

O enunciado dá dados da bactéria e do processo e pede duas coisas. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido.
Dados fornecidos:
\mu_{\max}=0,8\\ \mathrm{h}^{-1},\quad K_s=4\\ \mathrm{g/dm}^{3},
a vazão de alimentação
F=1000\\ \mathrm{dm}^{3}/\mathrm{h},
a concentração de substrato na alimentação
S_{\text{in}}=10\\ \mathrm{g/dm}^{3},
e rendimentos informados como Y_{p/x}=0,2 e Y_{s/x}=2.
Pedidos:
  1. (a) Volume do fermentador necessário para obter 90\% de conversão do substrato e concentração de células na saída.
  2. (b) A vazão volumétrica na qual ocorre o arraste (washout), quando aplicável.
Observação importante sobre os rendimentos (vou explicitar a interpretação que uso): o enunciado dá Y_{s/x}=2. Eu interpreto isto como
Y_{S/X}=2\\ \frac{\text{g substrato}}{\text{g biomassa}},
ou seja, para formar 1\\ \text{g} de biomassa são consumidos 2\\ \text{g} de substrato. Dessa forma
Y_{X/S}=\frac{1}{Y_{S/X}}=0,5\\ \frac{\text{g biomassa}}{\text{g substrato}}.
Se o seu professor usa outra convenção para os símbolos, o raciocínio é o mesmo, trocando Y_{X/S} adequadamente. Vou seguir essa interpretação, que é a mais usual e consistente com balanços de massa.

Passo 2

Conceitos e equações fundamentais (aula rápida, passo a passo).
  • CSTR em regime permanente: a vazão específica por volume chama-se taxa de diluição
D=\frac{F}{V}\quad\text{(em }\mathrm{h}^{-1}\text{)},
onde V é o volume do reator.
  • Cinética de Monod (taxa específica de crescimento):
\mu(S)=\mu_{\max}\,\frac{S}{K_s+S},
onde S é a concentração de substrato no reator (saída no regime permanente), \mu é a velocidade específica de crescimento (h^{-1}), \mu_{\max} e K_s são constantes dadas.
  • Balanço de biomassa (regime permanente, sem biomassa na alimentação):
D X = \mu(S) X.
Para solução não-trivial com X>0 temos
\mu(S)=D.
Ou seja: no steady-state com biomassa presente a taxa específica de crescimento se iguala à diluição.
  • Balanço de substrato (regime permanente):
D(S_{\text{in}}-S)=r_S,
onde r_S é a taxa volumétrica de consumo de substrato. Sem termo de manutenção e relacionando consumo de substrato com formação de biomassa:
r_S=\frac{\mu(S) X}{Y_{X/S}}.
Usando \mu(S)=D tem-se, cancelando D\neq0,
X = Y_{X/S}\,(S_{\text{in}}-S).
Essa fórmula é muito prática: relaciona concentração de biomassa à diferença entre alimentação e saída do substrato.
  • Condição de arraste (washout): o equilíbrio não-trivial exige solução finita de S tal que \mu(S)=D e S\le S_{\text{in}}. Resolvendo \mu(S)=D para S
S=\frac{K_s D}{\mu_{\max}-D},
válido apenas para D<\mu_{\max}. Porém como S não pode ser maior que S_{\text{in}}, a condição limite para existir solução não-trivial é
\frac{K_s D}{\mu_{\max}-D}\le S_{\text{in}}.
Igualando obtém-se a diluição crítica máxima para manter biomassa:
D_{\text{crit}}=\frac{\mu_{\max}S_{\text{in}}}{K_s+S_{\text{in}}}.
Se D\ge D_{\text{crit}} não existe equilíbrio com X>0 e ocorre arraste.

Passo 3

Aplicando a definição de conversão para encontrar S na saída (primeiro item pedido).
  • Conversão de 90\% significa que a fração remanescente é 1-0{,}9=0{,}1. Assim
S = S_{\text{out}} = (1-0{,}9)\,S_{\text{in}} = 0{,}1\cdot 10 = 1\\ \mathrm{g/dm}^{3}.

Passo 4

Determinar a taxa específica de crescimento correspondente ao S encontrado e, com isso, a diluição D.
Usando Monod com S=1\\ \mathrm{g/dm}^{3}:
\mu(S)=\mu_{\max}\frac{S}{K_s+S} = 0{,}8\cdot\frac{1}{4+1}=0{,}8\cdot\frac{1}{5}=0{,}16\\ \mathrm{h}^{-1}.
Em regime permanente não-trivial temos \mu(S)=D, logo
D=0{,}16\\ \mathrm{h}^{-1}.

Passo 5

Calcular o volume do fermentador necessário usando D=F/V.
Rearranjando,
V=\frac{F}{D}=\frac{1000\\ \mathrm{dm}^{3}/\mathrm{h}}{0{,}16\\ \mathrm{h}^{-1}}=6250\\ \mathrm{dm}^{3}.
Isso significa que, com a vazão de alimentação dada, um reator de 6250\\ \mathrm{dm}^3 (6,25 m^3) dará a diluição necessária para que a saída de substrato seja 1\\ \mathrm{g/dm}^3, ou seja, 90\% de conversão.

Passo 6

Calcular a concentração de células na saída usando a relação entre X e S.
Usando a fórmula
X = Y_{X/S}\,(S_{\text{in}}-S),
com Y_{X/S}=0{,}5 (ver observação no Passo 1), S_{\text{in}}=10 e S=1:
X=0{,}5\cdot(10-1)=0{,}5\cdot 9=4{,}5\\ \mathrm{g/dm}^{3}.
Portanto a concentração de células na saída é 4{,}5\\ \mathrm{g/dm}^{3}.

Passo 7

Determinar a vazão volumétrica na qual ocorre o arraste (washout).
Primeiro calculo a diluição crítica D_{\text{crit}} usando a fórmula deduzida:
D_{\text{crit}}=\frac{\mu_{\max}S_{\text{in}}}{K_s+S_{\text{in}}}=\frac{0{,}8\cdot 10}{4+10}=\frac{8}{14}=0{,}5714286\\ \mathrm{h}^{-1}\approx 0{,}5714\\ \mathrm{h}^{-1}.
Interpretação: se a diluição D for maior ou igual a 0{,}5714\\ \mathrm{h}^{-1}, não existe equilíbrio com biomassa presente (ocorre arraste).
Como a pergunta pede a vazão volumétrica (fluxo F) para a qual o arraste ocorre, e já conhecemos o volume necessário do fermentador da letra (a) ( V=6250\\ \mathrm{dm}^3), calculamos a vazão crítica:
F_{\text{crit}}=D_{\text{crit}}\cdot V =0{,}5714286\\ \mathrm{h}^{-1}\times 6250\\ \mathrm{dm}^{3}=3571{,}42875\\ \mathrm{dm}^{3}/\mathrm{h}.
Arredondando, F_{\text{crit}}\approx 3571{,}43\\ \mathrm{dm}^{3}/\mathrm{h}.
Observação pedagógica: alternativa — se a pergunta pedisse apenas a diluição crítica, a resposta seria D_{\text{crit}}=0{,}5714\\ \mathrm{h}^{-1}. Se pedisse a vazão crítica para um reator de volume diferente, multiplicaríamos D_{\text{crit}} pelo volume escolhido.

Resposta

Volume do fermentador: 6250\\ \mathrm{dm}^{3}
Concentração de células na saída: 4{,}5\\ \mathrm{g/dm}^{3}
Vazão crítica (arraste) para o reator acima: 3571{,}43\\ \mathrm{dm}^{3}/\mathrm{h}

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