A bactéria X -II pode ser descrita por uma equação de Monod simples com
e Ys
. O processo é conduzido em um CSTBR no qual a vazão de alimentação ė de
e a concentração de substrato é igual a
.
a) Qual o tamanho do fermentador necessário para que ocorra
de conversìo do substrato? Qual a concentração de células na saida?
b) Determine, caso possivel, a vazão volumétrica na qual o arraste ocorre.
a) Qual o tamanho do fermentador necessário para que ocorra
b) Determine, caso possivel, a vazão volumétrica na qual o arraste ocorre.
Passo 1
O enunciado dá dados da bactéria e do processo e pede duas coisas. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido.
Dados fornecidos:
a vazão de alimentação
a concentração de substrato na alimentação
e rendimentos informados como
e
.
Pedidos:
- (a) Volume do fermentador necessário para obter
de conversão do substrato e concentração de células na saída. - (b) A vazão volumétrica na qual ocorre o arraste (washout), quando aplicável.
Observação importante sobre os rendimentos (vou explicitar a interpretação que uso): o enunciado dá
. Eu interpreto isto como
ou seja, para formar
de biomassa são consumidos
de substrato. Dessa forma
Se o seu professor usa outra convenção para os símbolos, o raciocínio é o mesmo, trocando
adequadamente. Vou seguir essa interpretação, que é a mais usual e consistente com balanços de massa.
Passo 2
Conceitos e equações fundamentais (aula rápida, passo a passo).
- CSTR em regime permanente: a vazão específica por volume chama-se taxa de diluição
onde
é o volume do reator.
- Cinética de Monod (taxa específica de crescimento):
onde
é a concentração de substrato no reator (saída no regime permanente),
é a velocidade específica de crescimento (h^{-1}),
e
são constantes dadas.
- Balanço de biomassa (regime permanente, sem biomassa na alimentação):
Para solução não-trivial com
temos
Ou seja: no steady-state com biomassa presente a taxa específica de crescimento se iguala à diluição.
- Balanço de substrato (regime permanente):
onde
é a taxa volumétrica de consumo de substrato. Sem termo de manutenção e relacionando consumo de substrato com formação de biomassa:
Usando
tem-se, cancelando
,
Essa fórmula é muito prática: relaciona concentração de biomassa à diferença entre alimentação e saída do substrato.
- Condição de arraste (washout): o equilíbrio não-trivial exige solução finita de
tal que e . Resolvendo para dá
válido apenas para
. Porém como
não pode ser maior que
, a condição limite para existir solução não-trivial é
Igualando obtém-se a diluição crítica máxima para manter biomassa:
Se
não existe equilíbrio com
e ocorre arraste.
Passo 3
Aplicando a definição de conversão para encontrar
na saída (primeiro item pedido).
- Conversão de
significa que a fração remanescente é . Assim
Passo 4
Determinar a taxa específica de crescimento correspondente ao
encontrado e, com isso, a diluição
.
Usando Monod com
:
Em regime permanente não-trivial temos
, logo
Passo 5
Calcular o volume do fermentador necessário usando
.
Rearranjando,
Isso significa que, com a vazão de alimentação dada, um reator de
(6,25 m^3) dará a diluição necessária para que a saída de substrato seja
, ou seja,
de conversão.
Passo 6
Calcular a concentração de células na saída usando a relação entre
e
.
Usando a fórmula
com
(ver observação no Passo 1),
e
:
Portanto a concentração de células na saída é
.
Passo 7
Determinar a vazão volumétrica na qual ocorre o arraste (washout).
Primeiro calculo a diluição crítica
usando a fórmula deduzida:
Interpretação: se a diluição
for maior ou igual a
, não existe equilíbrio com biomassa presente (ocorre arraste).
Como a pergunta pede a vazão volumétrica (fluxo
) para a qual o arraste ocorre, e já conhecemos o volume necessário do fermentador da letra (a) (
), calculamos a vazão crítica:
Arredondando,
.
Observação pedagógica: alternativa — se a pergunta pedisse apenas a diluição crítica, a resposta seria
. Se pedisse a vazão crítica para um reator de volume diferente, multiplicaríamos
pelo volume escolhido.
Resposta
Volume do fermentador:
Concentração de células na saída:
Vazão crítica (arraste) para o reator acima: