O crescimento de bactérias para formar um produto, P , ocorreu em um CSTBR de 25 dm 3 . A bactéria (e.g, Zimomonas) consome o substrato nutriente (e.g. para gerar mais células e o produto desejado - Etanol).
O CSTBR foi inicialmente inoculado com bactéria e agora atingiu o estado estacionário. Somente substrato é alimentado no biorreator, a uma vazĭo volumétrica de
e uma concentração de
. O crescimento microbiano segue a cinética de Monod e a taxa de consumo de substrato está relacionado com a velocidade de crescimento por meio de
a) Calcule Cs e Cx.
b) Como suas respostas mudariam se a vazåo volumétrica de alimentação fosse reduzida à metade?
Informações adicionais:
.
b) Como suas respostas mudariam se a vazåo volumétrica de alimentação fosse reduzida à metade?
Passo 1
O enunciado dá um biorreator continuamente agitado (CSTR) com as seguintes informações (vou listar TUDO que aparece no enunciado, para a gente não se perder):
As perguntas do enunciado são:
a) Calcular e
(ou seja, a concentração estacionária de substrato e de biomassa no reator) nas condições dadas.
b) Repetir (a) quando a vazão de alimentação é reduzida à metade (ou seja, passa de
para
).
a) Calcular
b) Repetir (a) quando a vazão de alimentação é reduzida à metade (ou seja,
Observação: todos os dados numéricos usados nas contas acima foram retirados do enunciado.
Passo 2
Conceitos e equações que vamos usar (explicando como e por quê, passo a passo):
- Vazão específica (taxa de renovação) ou taxa de diluição:
Explicação:
tem unidade
e indica a fração do volume que é renovada por hora. Em estado estacionário,
é a velocidade com que o reator “lava” células e substrato.
- Cinética de Monod (modelo para crescimento microbiano):
Explicação:
é a taxa específica de crescimento (h^{-1}),
é o máximo que a taxa pode atingir,
é a constante de meia-saturação (valor de
para o qual
). Essa equação relaciona a concentração de substrato
com a taxa de crescimento específica.
- Balanço de biomassa em regime estacionário (acumulação nula):
Forma prática: para biomassa em regime estacionário e biomassa presente, a perda por vazão é compensada pelo crescimento, o que implica
desde que exista biomassa (caso contrário ocorre “washout”).
- Balanço de substrato em regime estacionário:
A relação entre consumo de substrato e crescimento (assumindo ausência de manutenção importante) é
Explicação:
é a quantidade de biomassa gerada por unidade de substrato consumido, então para produzir
(taxa de formação de biomassa por volume) consome-se
de substrato por volume e tempo.
Juntando as duas últimas equações:
Como em estado estacionário e com biomassa presente temos
, a equação simplifica para
Essa última expressão é muito prática: ela dá
diretamente a partir de
,
e
.
Passo 3
Calcular
para o caso inicial:
Explicação curta: a cada hora renova-se 20% do volume do reator.
Passo 4
Usar a condição
e a fórmula de Monod para obter
. Colocando
em
:
Resolver para
. Multiplicando ambos os lados por
:
Expandindo:
Isolando os termos com
:
Portanto
Agora substituímos os números:
Arredondando razoavelmente:
Passo 5
Calcular
usando
. Substituindo:
Arredondando:
Vou comentar rápido (motivação para a prova): se você lembrar da identidade útil
quando
, resolve rapidinho o exercício depois de achar
com Monod. Isso é muito usado em exames.
Passo 6
Agora a parte (b): reduzir a vazão de alimentação à metade. Então
. Calcular
:
Repetir o passo de encontrar
com Monod usando
:
Calcular
:
Comentário importante para a prova: sempre verifique que
; se
ocorre washout (biomassa tende a zero e então
). Nos nossos dois casos
e
são menores que
, então temos biomassa não-nula e as fórmulas acima valem.
Resposta
a)
b)