O crescimento de bactérias para formar um produto, P , ocorreu em um CSTBR de 25 dm 3 . A bactéria (e.g, Zimomonas) consome o substrato nutriente (e.g. para gerar mais células e o produto desejado - Etanol).
O CSTBR foi inicialmente inoculado com bactéria e agora atingiu o estado estacionário. Somente substrato é alimentado no biorreator, a uma vazĭo volumétrica de 5 \mathrm{dm}^{3} / \mathrm{h} e uma concentração de 30 \mathrm{~g}^{2} / \mathrm{dm}^{3}. O crescimento microbiano segue a cinética de Monod e a taxa de consumo de substrato está relacionado com a velocidade de crescimento por meio de
-r s=Y s x+x
a) Calcule Cs e Cx.
b) Como suas respostas mudariam se a vazåo volumétrica de alimentação fosse reduzida à metade?
Informações adicionais:
\mu \operatorname{máx}=0,5 \mathrm{~h}^{-1}, \mathrm{KS}=5 \mathrm{~g} / \mathrm{dm}^{3}.
\mathrm{Y} x / \mathrm{s}=0,8

Passo 1

O enunciado dá um biorreator continuamente agitado (CSTR) com as seguintes informações (vou listar TUDO que aparece no enunciado, para a gente não se perder):
V=25\\ \mathrm{dm}^3
F=5\\ \mathrm{dm}^3/\mathrm{h}
S_f=30\\ \mathrm{g/dm}^3\quad(\text{concentração de substrato na alimentação})çãçã
\mu_{\max}=0{,}5\\ \mathrm{h}^{-1}
K_s=5\\ \mathrm{g/dm}^3
Y_{x/s}=0{,}8\\ (\text{g de biomassa por g de substrato})
As perguntas do enunciado são:
a) Calcular C_s e C_x (ou seja, a concentração estacionária de substrato e de biomassa no reator) nas condições dadas.
b) Repetir (a) quando a vazão de alimentação é reduzida à metade (ou seja, F passa de 5 para 2{,}5\\ \mathrm{dm}^3/\mathrm{h}).
Observação: todos os dados numéricos usados nas contas acima foram retirados do enunciado.

Passo 2

Conceitos e equações que vamos usar (explicando como e por quê, passo a passo):
  1. Vazão específica (taxa de renovação) ou taxa de diluição:
D=\frac{F}{V}.
Explicação: D tem unidade \mathrm{h}^{-1} e indica a fração do volume que é renovada por hora. Em estado estacionário, D é a velocidade com que o reator “lava” células e substrato.
  1. Cinética de Monod (modelo para crescimento microbiano):
\mu(S)=\frac{\mu_{\max}S}{K_s+S}.
Explicação: \mu é a taxa específica de crescimento (h^{-1}), \mu_{\max} é o máximo que a taxa pode atingir, K_s é a constante de meia-saturação (valor de S para o qual \mu=\mu_{\max}/2). Essa equação relaciona a concentração de substrato S com a taxa de crescimento específica.
  1. Balanço de biomassa em regime estacionário (acumulação nula):
\text{entrada} - \text{saída} + \text{produção} = 0 \quad\Rightarrow\quad D X - D X + \mu X = \mu X = 0\\ \text{(não é essa forma útil)}.íçããéú
Forma prática: para biomassa em regime estacionário e biomassa presente, a perda por vazão é compensada pelo crescimento, o que implica
\mu = D,
desde que exista biomassa (caso contrário ocorre “washout”).
  1. Balanço de substrato em regime estacionário:
D(S_f - S) = \text{consumo de substrato por reação}.çã
A relação entre consumo de substrato e crescimento (assumindo ausência de manutenção importante) é
\text{consumo de substrato} = \frac{\mu X}{Y_{x/s}}.
Explicação: Y_{x/s} é a quantidade de biomassa gerada por unidade de substrato consumido, então para produzir \mu X (taxa de formação de biomassa por volume) consome-se \mu X / Y_{x/s} de substrato por volume e tempo.
Juntando as duas últimas equações:
D(S_f - S) = \frac{\mu X}{Y_{x/s}}.
Como em estado estacionário e com biomassa presente temos \mu=D, a equação simplifica para
D(S_f - S) = \frac{D X}{Y_{x/s}}\quad\Rightarrow\quad X = Y_{x/s}(S_f - S).
Essa última expressão é muito prática: ela dá X diretamente a partir de S, S_f e Y_{x/s}.

Passo 3

Calcular D para o caso inicial:
D=\frac{F}{V}=\frac{5}{25}=0{,}2\\ \mathrm{h}^{-1}.
Explicação curta: a cada hora renova-se 20% do volume do reator.

Passo 4

Usar a condição \mu=D e a fórmula de Monod para obter S. Colocando \mu=D em \mu=\dfrac{\mu_{\max}S}{K_s+S}:
D=\frac{\mu_{\max}S}{K_s+S}.
Resolver para S. Multiplicando ambos os lados por K_s+S:
D(K_s+S)=\mu_{\max}S.
Expandindo:
D K_s + D S = \mu_{\max} S.
Isolando os termos com S:
D K_s = (\mu_{\max}-D)S.
Portanto
S = \frac{K_s D}{\mu_{\max}-D}.
Agora substituímos os números:
S=\frac{5\cdot 0{,}2}{0{,}5-0{,}2}=\frac{1}{0{,}3}=3{,}333\\ \mathrm{g/dm}^3.
Arredondando razoavelmente:
S\approx 3{,}33\\ \mathrm{g/dm}^3.

Passo 5

Calcular X usando X=Y_{x/s}(S_f - S). Substituindo:
X=0{,}8\cdot(30-3{,}333)=0{,}8\cdot 26{,}667=21{,}333\\ \mathrm{g/dm}^3.
Arredondando:
X\approx 21{,}33\\ \mathrm{g/dm}^3.
Vou comentar rápido (motivação para a prova): se você lembrar da identidade útil X=Y(S_f-S) quando \mu=D, resolve rapidinho o exercício depois de achar S com Monod. Isso é muito usado em exames.

Passo 6

Agora a parte (b): reduzir a vazão de alimentação à metade. Então F_{\text{novo}}=2{,}5\\ \mathrm{dm}^3/\mathrm{h}. Calcular D_{\text{novo}}:
D_{\text{novo}}=\frac{2{,}5}{25}=0{,}1\\ \mathrm{h}^{-1}.
Repetir o passo de encontrar S com Monod usando D_{\text{novo}}:
S_{\text{novo}}=\frac{K_s D_{\text{novo}}}{\mu_{\max}-D_{\text{novo}}} =\frac{5\cdot 0{,}1}{0{,}5-0{,}1}=\frac{0{,}5}{0{,}4}=1{,}25\\ \mathrm{g/dm}^3.
Calcular X_{\text{novo}}=Y_{x/s}(S_f - S_{\text{novo}}):
X_{\text{novo}}=0{,}8\cdot(30-1{,}25)=0{,}8\cdot 28{,}75=23{,}0\\ \mathrm{g/dm}^3.
Comentário importante para a prova: sempre verifique que D<\mu_{\max}; se D\ge \mu_{\max} ocorre washout (biomassa tende a zero e então S\approx S_f). Nos nossos dois casos D=0{,}2 e 0{,}1 são menores que \mu_{\max}=0{,}5, então temos biomassa não-nula e as fórmulas acima valem.

Resposta

a) C_s=3{,}33\\ \mathrm{g/dm}^3,\quad C_x=21{,}33\\ \mathrm{g/dm}^3
b) C_s=1{,}25\\ \mathrm{g/dm}^3,\quad C_x=23{,}00\\ \mathrm{g/dm}^3

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