UM BAIXO GIGANTESCO Em um esforço para ter seu nome no Guinness Book of World Records (‘livro dos recordes mundiais’ do Guinness), você deseja construir um baixo com uma corda de 5.0 m de comprimento entre os dois pontos fixos. O material da corda possui uma densidade linear de 40,0 \mathrm{~g} / \mathrm{m} e uma freqüência fundamental igual a 20,0 \mathrm{~Hz} (a menor frequência audível pelo ouvido humano), a) Calcule a tensão na corda. b) Calcule a frequêneia e o comprimento de onda para o segundo harmônico. c) Calcule a freqüência e o comprimento de onda na corda para o segundo sobretom.

Passo 1

O enunciado descreve uma corda vibrante fixa em ambas as extremidades com comprimento L=5,0 m, densidade linear \mu=40,0 g/m ( 0,040 kg/m) e frequência fundamental f_1=20,0 Hz. O conteúdo é vibração de cordas, em que vale
v = \sqrt{\frac{T}{\mu}},\quad \lambda_n = \frac{2L}{n},\quad f_n = \frac{v}{\lambda_n} = \frac{n\,v}{2L}.
Vamos usar essas fórmulas para achar (a) a tensão T, (b) o segundo harmônico ( n=2) e (c) o segundo sobretom ( n=3).

Passo 2

Para achar T primeiro determinamos a velocidade da onda via o fundamental:
\lambda_1 = 2L = 2\cdot5,0 =10,0\text{ m},
v = \lambda_1\,f_1 = 10,0\cdot20,0 =200\text{ m/s}.
Como \mu=0,040 kg/m e v=200 m/s,
T = \mu\,v^2 = 0,040\cdot(200)^2 =0,040\cdot40000 =1600\text{ N}.

Passo 3

No segundo harmônico ( n=2) valem
f_2 = 2\,f_1 =2\cdot20,0 =40,0\text{ Hz},
\lambda_2 = \frac{2L}{2} = L =5,0\text{ m}.

Passo 4

No segundo sobretom (terceiro harmônico, n=3) obtemos
f_3 = 3\,f_1 =3\cdot20,0 =60,0\text{ Hz},
\lambda_3 = \frac{2L}{3} = \frac{2\cdot5,0}{3} \approx3,33\text{ m}.

Resposta

(a) T =1600\text{ N}.
(b) f_2 =40,0\text{ Hz},\\ \lambda_2 =5,0\text{ m}.
(c) f_3 =60,0\text{ Hz},\\ \lambda_3 \approx3,33\text{ m}.

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