Uma bala de canhão é lançada obliquamente a partir do solo com uma velocidade inicial de módulo 500 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Sabendo que o ângulo de lançamento com a horizontal é de 15^{\circ}, calcule: (dado: g=9,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} )
a) O alcance máximo do projétil
b) A altura máxima do projétil
c) O módulo da velocidade do projétil quando este atinge a metade da altura máxima.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede três coisas.
Dados fornecidos:
  • Velocidade inicial de módulo \,v_0 = 500\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.
  • Ângulo de lançamento com a horizontal \,\theta = 15^\circ.
  • Aceleração da gravidade \,g = 9{,}8\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^2.
Perguntas:
(a) Calcular o alcance máximo do projétil (distância horizontal total até voltar ao solo).
(b) Calcular a altura máxima atingida pelo projétil.
(c) Calcular o módulo da velocidade do projétil quando ele atinge metade da altura máxima.

Passo 2

Primeiro vamos decompor a velocidade inicial em componentes horizontal e vertical — isso é sempre a primeira coisa em movimento oblíquo.
Definições e fórmulas:
  • A componente horizontal da velocidade inicial é \,v_{0x} = v_0\cos\theta.
  • A componente vertical da velocidade inicial é \,v_{0y} = v_0\sin\theta.
Explicação rápida: \,v_{0x} é a velocidade que não muda (ignorando resistência do ar) porque não há aceleração horizontal; \,v_{0y} é a componente que vai diminuir devido à gravidade até chegar a zero no ponto mais alto.
Cálculo numérico (uso valores trigonométricos aproximados):
\sin15^\circ \approx 0{,}258819,\qquad \cos15^\circ \approx 0{,}965926.
v_{0y} = 500\cdot\sin15^\circ \approx 500\cdot 0{,}258819 = 129{,}4095\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.
v_{0x} = 500\cdot\cos15^\circ \approx 500\cdot 0{,}965926 = 482{,}9630\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.

Passo 3

Cálculo do alcance máximo R.
Ideia e fórmula: o tempo total de voo T (subida + descida) para lançamento e aterrissagem no mesmo nível vale
T = \frac{2v_{0y}}{g}.
A distância horizontal percorrida (alcance) é
R = v_{0x}\,T.
Juntando as duas fórmulas obtemos a forma clássica
R = \frac{v_0^2\sin(2\theta)}{g}.
Aplicando os números:
\sin(2\theta)=\sin(30^\circ)=\tfrac{1}{2}.
R = \frac{(500)^2\cdot \tfrac{1}{2}}{9{,}8} = \frac{250000\cdot 0{,}5}{9{,}8} = \frac{125000}{9{,}8}.
Agora calculando:
R \approx 12755{,}102\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Cálculo da altura máxima H.
Ideia e fórmula: no ponto mais alto a componente vertical da velocidade é zero. Usa-se a equação cinemática vertical
v_y^2 = v_{0y}^2 - 2g\Delta y.
Colocando v_y=0 e \Delta y = H obtemos
H = \frac{v_{0y}^2}{2g}.
Também é equivalente escrever H=\dfrac{v_0^2\sin^2\theta}{2g}.
Usando v_{0y}^2 calculado antes:
v_{0y}^2 \approx (129{,}4095)^2 \approx 16746{,}8245.
H = \frac{16746{,}8245}{2\cdot 9{,}8} = \frac{16746{,}8245}{19{,}6}.
Calculando:
H \approx 854{,}226\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Entendendo o que pede (c) e escolhendo o método.
Queremos o módulo da velocidade quando a bala atinge metade da altura máxima, ou seja quando y = \dfrac{H}{2}. A componente horizontal da velocidade permanece constante e igual a \,v_{0x}. A componente vertical naquele ponto pode ser encontrada por conservação da energia cinemática vertical (ou pela equação de movimento vertical):
v_y^2 = v_{0y}^2 - 2g\,y.
Substituindo y=\dfrac{H}{2} e lembrando que H=\dfrac{v_{0y}^2}{2g}, vemos que
2g\cdot\frac{H}{2}=gH=\frac{v_{0y}^2}{2}.
Logo
v_y^2 = v_{0y}^2 - \frac{v_{0y}^2}{2} = \frac{v_{0y}^2}{2}.
Portanto, no ponto pedido a componente vertical tem módulo
|v_y| = \frac{v_{0y}}{\sqrt{2}}.
(Aqui o sinal indica subida ou descida; como nos pedem o módulo, tomamos o valor positivo.)

Passo 6

Cálculo numérico da velocidade naquele ponto.
Já temos v_{0x} e v_{0y}. Então o módulo da velocidade é
v = \sqrt{v_{x}^2 + v_{y}^2} = \sqrt{v_{0x}^2 + \frac{v_{0y}^2}{2}}.
Uma simplificação útil é notar que v_{0x}^2 + \dfrac{v_{0y}^2}{2} = v_0^2 - \dfrac{v_{0y}^2}{2} porque v_0^2 = v_{0x}^2+v_{0y}^2.
Cálculo com os valores:
\frac{v_{0y}^2}{2} \approx \frac{16746{,}8245}{2} = 8373{,}4123.
v^2 = 250000 - 8373{,}4123 = 241626{,}5877.
v = \sqrt{241626{,}5877} \approx 491{,}555\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.

Passo 7

Resumo numérico (arredondamentos razoáveis para prova):
  • Alcance R \approx 12755{,}1\\ \mathrm{m}.
  • Altura máxima H \approx 854{,}23\\ \mathrm{m}.
  • Módulo da velocidade na metade da altura v \approx 491{,}56\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.
Força final: deu trabalho mas é só aplicar decomposição de vetores + equações do movimento vertical e horizontal. Vai dar certo na prova — respira e confia!

Resposta

(a) R \approx 12755{,}1\\ \mathrm{m}
(b) H \approx 854{,}23\\ \mathrm{m}
(c) v \approx 491{,}56\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}

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