Uma bala de canhão é lançada obliquamente a partir do solo com uma velocidade inicial de módulo
. Sabendo que o ângulo de lançamento com a horizontal é de
, calcule: (dado:
)
a) O alcance máximo do projétil
b) A altura máxima do projétil
c) O módulo da velocidade do projétil quando este atinge a metade da altura máxima.
a) O alcance máximo do projétil
b) A altura máxima do projétil
c) O módulo da velocidade do projétil quando este atinge a metade da altura máxima.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede três coisas.
Dados fornecidos:
- Velocidade inicial de módulo
. - Ângulo de lançamento com a horizontal
. - Aceleração da gravidade
.
Perguntas:
(a) Calcular o alcance máximo do projétil (distância horizontal total até voltar ao solo).
(b) Calcular a altura máxima atingida pelo projétil.
(c) Calcular o módulo da velocidade do projétil quando ele atinge metade da altura máxima.
(a) Calcular o alcance máximo do projétil (distância horizontal total até voltar ao solo).
(b) Calcular a altura máxima atingida pelo projétil.
(c) Calcular o módulo da velocidade do projétil quando ele atinge metade da altura máxima.
Passo 2
Primeiro vamos decompor a velocidade inicial em componentes horizontal e vertical — isso é sempre a primeira coisa em movimento oblíquo.
Definições e fórmulas:
- A componente horizontal da velocidade inicial é
. - A componente vertical da velocidade inicial é
.
Explicação rápida:
é a velocidade que não muda (ignorando resistência do ar) porque não há aceleração horizontal;
é a componente que vai diminuir devido à gravidade até chegar a zero no ponto mais alto.
Cálculo numérico (uso valores trigonométricos aproximados):
Passo 3
Cálculo do alcance máximo
.
Ideia e fórmula: o tempo total de voo
(subida + descida) para lançamento e aterrissagem no mesmo nível vale
A distância horizontal percorrida (alcance) é
Juntando as duas fórmulas obtemos a forma clássica
Aplicando os números:
Agora calculando:
Passo 4
Cálculo da altura máxima
.
Ideia e fórmula: no ponto mais alto a componente vertical da velocidade é zero. Usa-se a equação cinemática vertical
Colocando
e
obtemos
Também é equivalente escrever
.
Usando
calculado antes:
Calculando:
Passo 5
Entendendo o que pede (c) e escolhendo o método.
Queremos o módulo da velocidade quando a bala atinge metade da altura máxima, ou seja quando
. A componente horizontal da velocidade permanece constante e igual a
. A componente vertical naquele ponto pode ser encontrada por conservação da energia cinemática vertical (ou pela equação de movimento vertical):
Substituindo
e lembrando que
, vemos que
Logo
Portanto, no ponto pedido a componente vertical tem módulo
(Aqui o sinal indica subida ou descida; como nos pedem o módulo, tomamos o valor positivo.)
Passo 6
Cálculo numérico da velocidade naquele ponto.
Já temos
e
. Então o módulo da velocidade é
Uma simplificação útil é notar que
porque
.
Cálculo com os valores:
Passo 7
Resumo numérico (arredondamentos razoáveis para prova):
- Alcance
. - Altura máxima
. - Módulo da velocidade na metade da altura
.
Força final: deu trabalho mas é só aplicar decomposição de vetores + equações do movimento vertical e horizontal. Vai dar certo na prova — respira e confia!
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)