Um mol de nitrogênio (
) parte das condições iniciais p, V,T e sofre as seguintes transformaçōes: (1) duplica-se o seu volume a pressāo constante, (2) a seguir, duplica-se a sua pressão a volume constante e (3) expan de-se o gās isotermicamente até que sua pressāo volte a
. pelo gās.
a) Desenhe en un diagrama
as sucessivas transformações sofridas
b) Calcule o calor envolvido em cada transformação.
c) Calcule o trabalho envolvido em cada transformação.
d) Calcule a variação da energia interna do gās em cada transformação.
a) Desenhe en un diagrama
b) Calcule o calor envolvido em cada transformação.
c) Calcule o trabalho envolvido em cada transformação.
d) Calcule a variação da energia interna do gās em cada transformação.
Passo 1
Vou listar de forma clara o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver ainda.
- Dados iniciais (peguei do enunciado): um mol do gás
nas condições iniciais . Ou seja, o estado inicial tem pressão , volume e temperatura . O número de mols é . - Transformações sucessivas:
- À pressão constante
duplica-se o volume: . - Em seguida, a volume constante (isto é,
fixo), duplica-se a pressão. - Finalmente, expande-se isotermicamente até que a pressão volte a
.
- À pressão constante
- O que o enunciado pede:
(a) desenhar (descrever) no diagramaas transformações;
(b) calcular o calor envolvido em cada transformação;
(c) calcular o trabalho em cada transformação;
(d) calcular a variação da energia interna do gás em cada transformação.
Observação importante (hipótese usada): vou tratar
como um gás ideal diatômico com capacidades térmicas constantes (caso usual a temperaturas não muito altas), ou seja
e
é a constante dos gases. Também uso que, para gás ideal, a energia interna depende só da temperatura e vale
. Não foi pedido um valor numérico, então vou expressar respostas em termos de
,
,
(ou
quando conveniente). Aqui
.
Passo 2
Determinar os estados intermediários (pressão, volume, temperatura) após cada etapa, usando a equação do gás ideal
.
- Estado inicial (chamo de estado 0):
, com e portanto
-
Após a transformação (1) — isóbara (constante
) com :
pela lei dos gases, a nova temperatura éLogo estado 1:. -
Após a transformação (2) — isócora (constante
) e a pressão duplica: .
entãoEstado 2:. -
Transformação (3) — isotérmica a
, expandindo de até que a pressão volte a .
Para processo isotérmico de gás idealconst, então . Como , obtemos Estado 3 (final):.
Resumo dos estados:
Passo 3
Relembrar as fórmulas fundamentais que vou usar (explicando cada termo de forma didática):
-
Equação dos gases ideais (já usada):onde
é pressão, volume, número de mols, constante universal dos gases e temperatura absoluta. -
Trabalho realizado pelo gás em um processo quasiestático:Isso significa "área sob a curva
" no diagrama . Para processos simples: - Isóbaro:
. - Isócora:
. - Isotérmico (gás ideal):
.
- Isóbaro:
-
Primeira lei da termodinâmica (conservação da energia):onde
é o calor trocado com o ambiente (positivo se entra no gás), variação da energia interna do gás e trabalho realizado pelo gás. -
Energia interna do gás ideal (depende só de
): ondeé a capacidade térmica molar a volume constante. Para gás diatômico (modelo com rotações ativas e vibrações desprezadas), usamos Essas são aproximações muito usadas paraem condições usuais. Com , .
Observação prática: como
no estado inicial, sempre que aparecer
posso substituir por
(isto é conveniente para expressar resultados em termos de
e
).
Passo 4
Calcular calor, trabalho e variação de energia interna para a transformação (1) — isóbara: de
a
.
-
Trabalho:Observação: com
e usando , isso equivale a . -
Variação de energia interna:Substituindo
: -
Calor trocado (primeira lei):Alternativamente poderia usar
, que dá o mesmo resultado.
Passo 5
Calcular para a transformação (2) — isócora: de
a
.
-
Trabalho:
Em isócara, o volume é fixo, logo -
Variação de energia interna:Substituindo
: -
Calor trocado:
Passo 6
Calcular para a transformação (3) — isotérmica a
: de
a
.
-
Variação de energia interna:
Para processo isotérmico de um gás ideal, a temperatura é constante, portanto -
Trabalho:
Fórmula do trabalho isotérmico:Aqui, , . Logo -
Calor trocado:
Pela primeira lei,. Como ,
Passo 7
Breve checagem e interpretação (motivando o aluno para a prova):
- Conferência de energia: em cada etapa
foi satisfeita (cheque rápido: etapa 1: ; etapa 2: ; etapa 3: ). - Sinais: todas as quantidades calculadas são positivas (o gás recebe calor em (1) e (2); em (3) ele também recebe calor enquanto realiza trabalho, porque se expande isotermicamente e sua energia interna não muda).
- Lembrete prático para prova: identificar rapidamente que
depende só de ; portanto calcule as temperaturas dos estados intermediários via , e aí use as fórmulas padrão para cada processo (isóbaro, isócora, isotérmico).
Resposta
(a) No diagrama
: do ponto
seguir uma linha horizontal (isóbara) até
; depois uma linha vertical ascendente (isócora) até
; por fim uma curva hiperbólica de isotérmica (descendo) de
até
.
(b) Calores:
(c) Trabalhos (realizados pelo gás):
(d) Variações da energia interna: