Um mol de nitrogênio ( N_{2} ) parte das condições iniciais p, V,T e sofre as seguintes transformaçōes: (1) duplica-se o seu volume a pressāo constante, (2) a seguir, duplica-se a sua pressão a volume constante e (3) expan de-se o gās isotermicamente até que sua pressāo volte a p. pelo gās.
a) Desenhe en un diagrama p-V as sucessivas transformações sofridas
b) Calcule o calor envolvido em cada transformação.
c) Calcule o trabalho envolvido em cada transformação.
d) Calcule a variação da energia interna do gās em cada transformação.

Passo 1

Vou listar de forma clara o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver ainda.
  • Dados iniciais (peguei do enunciado): um mol do gás \mathrm{N_2} nas condições iniciais (p,V,T). Ou seja, o estado inicial tem pressão p, volume V e temperatura T. O número de mols é n=1.
  • Transformações sucessivas:
    1. À pressão constante p duplica-se o volume: V \to 2V.
    2. Em seguida, a volume constante (isto é, V=2V fixo), duplica-se a pressão.
    3. Finalmente, expande-se isotermicamente até que a pressão volte a p.
  • O que o enunciado pede:
    (a) desenhar (descrever) no diagrama p\!-\!V as transformações;
    (b) calcular o calor envolvido em cada transformação;
    (c) calcular o trabalho em cada transformação;
    (d) calcular a variação da energia interna do gás em cada transformação.
Observação importante (hipótese usada): vou tratar \mathrm{N_2} como um gás ideal diatômico com capacidades térmicas constantes (caso usual a temperaturas não muito altas), ou seja
C_V=\tfrac{5}{2}R,\qquad C_P=\tfrac{7}{2}R,
e R é a constante dos gases. Também uso que, para gás ideal, a energia interna depende só da temperatura e vale \Delta U = n C_V \Delta T. Não foi pedido um valor numérico, então vou expressar respostas em termos de p, V, T (ou R quando conveniente). Aqui n=1.

Passo 2

Determinar os estados intermediários (pressão, volume, temperatura) após cada etapa, usando a equação do gás ideal \,pV=nRT\,.
  • Estado inicial (chamo de estado 0): \,(p_0,V_0,T_0)=(p,V,T), com n=1 e portanto
pV = RT.
  • Após a transformação (1) — isóbara (constante p) com V_1=2V_0=2V:
    pela lei dos gases, a nova temperatura é
    T_1=\frac{pV_1}{R}=\frac{p(2V)}{R}=2\frac{pV}{R}=2T.
    Logo estado 1: \,(p_1,V_1,T_1)=(p,\,2V,\,2T).
  • Após a transformação (2) — isócora (constante V=V_1=2V) e a pressão duplica: p_2=2p_1=2p.
    então
    T_2=\frac{p_2 V_2}{R}=\frac{(2p)(2V)}{R}=4\frac{pV}{R}=4T.
    Estado 2: \,(p_2,V_2,T_2)=(2p,\,2V,\,4T).
  • Transformação (3) — isotérmica a T_2=4T, expandindo de V_2=2V até que a pressão volte a p.
    Para processo isotérmico de gás ideal pV= const, então p_2V_2 = p_3 V_3. Como p_3=p, obtemos
    V_3 = \frac{p_2 V_2}{p_3}=\frac{(2p)(2V)}{p}=4V.
    Estado 3 (final): \,(p_3,V_3,T_3)=(p,\,4V,\,4T).
Resumo dos estados:
\begin{aligned} \text{0: }&(p, V, T),\\\ \text{1: }&(p, 2V, 2T),\\\ \text{2: }&(2p, 2V, 4T),\\\ \text{3: }&(p, 4V, 4T). \end{aligned}

Passo 3

Relembrar as fórmulas fundamentais que vou usar (explicando cada termo de forma didática):
  • Equação dos gases ideais (já usada):
    pV = n R T,
    onde p é pressão, V volume, n número de mols, R constante universal dos gases e T temperatura absoluta.
  • Trabalho realizado pelo gás em um processo quasiestático:
    W=\int_{V_i}^{V_f} p\,\mathrm{d}V.
    Isso significa "área sob a curva p(V)" no diagrama p\!-\!V. Para processos simples:
    • Isóbaro: W = p\,(V_f-V_i).
    • Isócora: W=0.
    • Isotérmico (gás ideal): W = n R T \ln\!\left(\dfrac{V_f}{V_i}\right).
  • Primeira lei da termodinâmica (conservação da energia):
    Q = \Delta U + W,
    onde Q é o calor trocado com o ambiente (positivo se entra no gás), \Delta U variação da energia interna do gás e W trabalho realizado pelo gás.
  • Energia interna do gás ideal (depende só de T):
    \Delta U = n C_V \Delta T,
    onde C_V é a capacidade térmica molar a volume constante. Para gás diatômico (modelo com rotações ativas e vibrações desprezadas), usamos
    C_V=\tfrac{5}{2}R,\qquad C_P=C_V+R=\tfrac{7}{2}R.
    Essas são aproximações muito usadas para \mathrm{N_2} em condições usuais. Com n=1, \Delta U = C_V\Delta T.
Observação prática: como pV=RT no estado inicial, sempre que aparecer RT posso substituir por pV (isto é conveniente para expressar resultados em termos de p e V).

Passo 4

Calcular calor, trabalho e variação de energia interna para a transformação (1) — isóbara: de (p,V,T) a (p,2V,2T).
  • Trabalho:
    W_1 = p\,(V_1-V_0)=p(2V-V)=pV.
    Observação: com n=1 e usando pV=RT, isso equivale a W_1=RT.
  • Variação de energia interna:
    \Delta U_1 = n C_V (T_1-T_0)=C_V(2T-T)=C_V\,T.
    Substituindo C_V=\tfrac{5}{2}R:
    \Delta U_1 = \tfrac{5}{2}R\,T = \tfrac{5}{2}pV.
  • Calor trocado (primeira lei):
    Q_1 = \Delta U_1 + W_1 = \tfrac{5}{2}R T + R T = \tfrac{7}{2}R T = \tfrac{7}{2}pV.
    Alternativamente poderia usar Q_1 = n C_P \Delta T = C_P (T_1-T_0)=\tfrac{7}{2}R T, que dá o mesmo resultado.

Passo 5

Calcular para a transformação (2) — isócora: de (p,2V,2T) a (2p,2V,4T).
  • Trabalho:
    Em isócara, o volume é fixo, logo
    W_2 = 0.
  • Variação de energia interna:
    \Delta U_2 = n C_V (T_2-T_1)=C_V(4T-2T)=C_V(2T).
    Substituindo C_V=\tfrac{5}{2}R:
    \Delta U_2 = \tfrac{5}{2}R\cdot 2T = 5 R T = 5 pV.
  • Calor trocado:
    Q_2 = \Delta U_2 + W_2 = 5 R T + 0 = 5 R T = 5 pV.

Passo 6

Calcular para a transformação (3) — isotérmica a T=4T: de (2p,2V,4T) a (p,4V,4T).
  • Variação de energia interna:
    Para processo isotérmico de um gás ideal, a temperatura é constante, portanto
    \Delta U_3 = 0.
  • Trabalho:
    Fórmula do trabalho isotérmico:
    W_3 = n R T_{\text{isot}} \ln\!\left(\frac{V_3}{V_2}\right).
    Aqui T_{\text{isot}}=T_2=4T, V_2=2V, V_3=4V. Logo
    W_3 = R\cdot(4T)\ln\!\left(\frac{4V}{2V}\right)=4R T\ln 2 = 4 pV \ln 2.
  • Calor trocado:
    Pela primeira lei, Q_3=\Delta U_3 + W_3. Como \Delta U_3=0,
    Q_3 = W_3 = 4 R T \ln 2 = 4 pV \ln 2.

Passo 7

Breve checagem e interpretação (motivando o aluno para a prova):
  • Conferência de energia: em cada etapa Q=\Delta U+W foi satisfeita (cheque rápido: etapa 1: \tfrac{7}{2}pV = \tfrac{5}{2}pV + pV; etapa 2: 5pV = 5pV + 0; etapa 3: 4pV\ln2 = 0 + 4pV\ln2).
  • Sinais: todas as quantidades calculadas são positivas (o gás recebe calor em (1) e (2); em (3) ele também recebe calor enquanto realiza trabalho, porque se expande isotermicamente e sua energia interna não muda).
  • Lembrete prático para prova: identificar rapidamente que \Delta U depende só de \Delta T; portanto calcule as temperaturas dos estados intermediários via pV=nRT, e aí use as fórmulas padrão para cada processo (isóbaro, isócora, isotérmico).

Resposta

(a) No diagrama p\!-\!V: do ponto (p,V) seguir uma linha horizontal (isóbara) até (p,2V); depois uma linha vertical ascendente (isócora) até (2p,2V); por fim uma curva hiperbólica de isotérmica (descendo) de (2p,2V) até (p,4V).
(b) Calores:
Q_1=\tfrac{7}{2}pV,\qquad Q_2=5\,pV,\qquad Q_3=4\,pV\ln 2.
(c) Trabalhos (realizados pelo gás):
W_1=pV,\qquad W_2=0,\qquad W_3=4\,pV\ln 2.
(d) Variações da energia interna:
\Delta U_1=\tfrac{5}{2}pV,\qquad \Delta U_2=5\,pV,\qquad \Delta U_3=0.

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