Um jogador de golfe deseja acertar um buraco localizado em uma elevação de 2 m em relação ao plano do solo. Sabendo que a bola de golfe é lançada a partir do solo com um ângulo de lançamento com a horizontal de
, e que a distância horizontal inicial entre a bola e o buraco é de 80 m , determine:
a) o módulo da velocidade inicial da bola necessária para que o jogador acerte o buraco
b) o tempo total do movimento considerando que o jogador acerte o buraco.
a) o módulo da velocidade inicial da bola necessária para que o jogador acerte o buraco
b) o tempo total do movimento considerando que o jogador acerte o buraco.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados (tirei os números diretamente do enunciado):
- A elevação final em relação ao solo é
. Ou seja, a posição vertical final é e a posição inicial . - O ângulo de lançamento em relação à horizontal é
. - A distância horizontal entre a posição de lançamento e o buraco é
. - A aceleração da gravidade vale
. Usarei .
O enunciado pede:
a) o módulo da velocidade inicial necessário para que a bola alcance o buraco;
b) o tempo total do movimento quando a bola atinge o buraco.
a) o módulo da velocidade inicial necessário para que a bola alcance o buraco;
b) o tempo total do movimento quando a bola atinge o buraco.
Passo 2
Vamos dividir o movimento em componentes horizontal e vertical (essa é a ideia básica de movimento de projéteis).
Definições e equações fundamentais:
- Denotarei a velocidade inicial por
. - A componente horizontal da velocidade inicial é
. - A componente vertical inicial é
. - No eixo horizontal não há aceleração (desprezando resistência do ar), então a posição horizontal cresce linearmente com o tempo:
- No eixo vertical há aceleração igual a
. Tomando , a posição vertical em função do tempo é
Aqui
é o tempo decorrido desde o lançamento até o ponto considerado;
e
são as posições horizontais e verticais atingidas nesse tempo. Essas duas equações são suficientes para determinar
e
quando conhecemos
e
.
Passo 3
Expressar
a partir da equação horizontal (isso facilita substituir na equação vertical):
Agora substituímos esse
na equação vertical, impondo que no instante em que
a posição vertical seja
:
Passo 4
Simplificar a expressão acima (faça isso passo a passo para não se perder):
- O primeiro termo simplifica porque
cancela:
- O segundo termo fica
Portanto a equação reduz-se a
Isolando a parte que contém
:
Invertendo para achar
:
Essa fórmula dá
em termos dos dados
,
e
. É útil porque nos dá diretamente o módulo da velocidade inicial necessária.
Passo 5
Agora vamos calcular numericamente. Primeiro use valores trigonométricos de
(valores que convém decorar):
Substituindo esses valores e
,
na expressão de
:
Simplificando o fator
, obtemos uma forma mais simples:
Agora calculemos passo a passo os números:
-
. - Então
. - O numerador
.
Portanto
Tirando a raiz para obter
:
(Arredondei para duas casas decimais; se preferir mais precisão,
.)
Passo 6
Agora encontramos o tempo total
usando a equação horizontal
Substituindo
,
e
:
Passo 7
Breve verificação mental (para ficar confiante): com
e ângulo
, a componente vertical inicial é
. Em
a subida/queda vertical prevista é
que está muito próximo de
(diferença devido a arredondamentos), então as contas estão coerentes.