Um jogador de golfe deseja acertar um buraco localizado em uma elevação de 2 m em relação ao plano do solo. Sabendo que a bola de golfe é lançada a partir do solo com um ângulo de lançamento com a horizontal de 30^{\circ}, e que a distância horizontal inicial entre a bola e o buraco é de 80 m , determine:
a) o módulo da velocidade inicial da bola necessária para que o jogador acerte o buraco
b) o tempo total do movimento considerando que o jogador acerte o buraco.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (tirei os números diretamente do enunciado):
  • A elevação final em relação ao solo é 2\\ \mathrm{m}. Ou seja, a posição vertical final é y_f=2\\ \mathrm{m} e a posição inicial y_0=0.
  • O ângulo de lançamento em relação à horizontal é \theta=30^\circ.
  • A distância horizontal entre a posição de lançamento e o buraco é x=80\\ \mathrm{m}.
  • A aceleração da gravidade vale g. Usarei g=9,8\\ \mathrm{m/s^2}.
O enunciado pede:
a) o módulo da velocidade inicial necessário para que a bola alcance o buraco;
b) o tempo total do movimento quando a bola atinge o buraco.

Passo 2

Vamos dividir o movimento em componentes horizontal e vertical (essa é a ideia básica de movimento de projéteis).
Definições e equações fundamentais:
  • Denotarei a velocidade inicial por v_0.
  • A componente horizontal da velocidade inicial é v_{0x}=v_0\cos\theta.
  • A componente vertical inicial é v_{0y}=v_0\sin\theta.
  • No eixo horizontal não há aceleração (desprezando resistência do ar), então a posição horizontal cresce linearmente com o tempo:
x = v_{0x}\,t = v_0\cos\theta\; t.
  • No eixo vertical há aceleração igual a -g. Tomando y_0=0, a posição vertical em função do tempo é
y = v_{0y}\,t - \tfrac{1}{2} g t^2 = v_0\sin\theta\; t - \tfrac{1}{2} g t^2.
Aqui t é o tempo decorrido desde o lançamento até o ponto considerado; x e y são as posições horizontais e verticais atingidas nesse tempo. Essas duas equações são suficientes para determinar v_0 e t quando conhecemos x e y.

Passo 3

Expressar t a partir da equação horizontal (isso facilita substituir na equação vertical):
t = \frac{x}{v_0\cos\theta}.
Agora substituímos esse t na equação vertical, impondo que no instante em que x=80\\ \mathrm{m} a posição vertical seja y=2\\ \mathrm{m}:
2 = v_0\sin\theta\left(\frac{x}{v_0\cos\theta}\right) - \tfrac{1}{2} g \left(\frac{x}{v_0\cos\theta}\right)^2.

Passo 4

Simplificar a expressão acima (faça isso passo a passo para não se perder):
  • O primeiro termo simplifica porque v_0 cancela:
v_0\sin\theta\left(\frac{x}{v_0\cos\theta}\right)=x\tan\theta.
  • O segundo termo fica
\tfrac{1}{2} g \left(\frac{x}{v_0\cos\theta}\right)^2 = \frac{g x^2}{2 v_0^2 \cos^2\theta}.
Portanto a equação reduz-se a
2 = x\tan\theta - \frac{g x^2}{2 v_0^2 \cos^2\theta}.
Isolando a parte que contém v_0^2:
\frac{g x^2}{2 v_0^2 \cos^2\theta} = x\tan\theta - 2.
Invertendo para achar v_0^2:
v_0^2 = \frac{g x^2}{2\cos^2\theta\,(x\tan\theta - 2)}.
Essa fórmula dá v_0^2 em termos dos dados x, \theta e g. É útil porque nos dá diretamente o módulo da velocidade inicial necessária.

Passo 5

Agora vamos calcular numericamente. Primeiro use valores trigonométricos de \theta=30^\circ (valores que convém decorar):
\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2},\qquad \cos^2 30^\circ = \frac{3}{4}, \qquad \tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}.
Substituindo esses valores e x=80\\ \mathrm{m}, g=9,8\\ \mathrm{m/s^2} na expressão de v_0^2:
v_0^2 = \frac{9,8\cdot 80^2}{2\cdot\left(\dfrac{3}{4}\right)\cdot\left(80\cdot\dfrac{1}{\sqrt{3}} - 2\right)}.
Simplificando o fator 2\cdot\dfrac{3}{4}=\dfrac{3}{2}, obtemos uma forma mais simples:
v_0^2 = \frac{2\,g\,x^2}{3\,(x\tan\theta - 2)}.
Agora calculemos passo a passo os números:
  • x\tan\theta = 80\cdot\dfrac{1}{\sqrt{3}} \approx 80\cdot 0,577350269 = 46,1880215.
  • Então x\tan\theta - 2 \approx 46,1880215 - 2 = 44,1880215.
  • O numerador 2 g x^2 = 2\cdot 9,8 \cdot 80^2 = 19,6\cdot 6400 = 125\,440.
Portanto
v_0^2 \approx \frac{125\,440}{3\cdot 44,1880215} = \frac{125\,440}{132,5640645}\approx 946,26.
Tirando a raiz para obter v_0:
v_0 \approx \sqrt{946,26}\approx 30,76\\ \mathrm{m/s}.
(Arredondei para duas casas decimais; se preferir mais precisão, v_0\approx 30,76\\ \mathrm{m/s}.)

Passo 6

Agora encontramos o tempo total t usando a equação horizontal
t = \frac{x}{v_0\cos\theta}.
Substituindo x=80\\ \mathrm{m}, v_0\approx 30,76\\ \mathrm{m/s} e \cos 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\approx 0,8660254:
t \approx \frac{80}{30,76\cdot 0,8660254}\approx \frac{80}{26,64}\approx 3,00\\ \mathrm{s}.

Passo 7

Breve verificação mental (para ficar confiante): com v_0\approx 30,76\\ \mathrm{m/s} e ângulo 30^\circ, a componente vertical inicial é v_{0y}=v_0\sin30^\circ=30,76\cdot 0,5\approx 15,38\\ \mathrm{m/s}. Em t\approx 3\\ \mathrm{s} a subida/queda vertical prevista é
y = v_{0y}t - \tfrac{1}{2} g t^2 \approx 15,38\cdot 3 - \tfrac{1}{2}\cdot 9,8\cdot 3^2 \approx 46,14 - 44,1 \approx 2,04\\ \mathrm{m},
que está muito próximo de 2\\ \mathrm{m} (diferença devido a arredondamentos), então as contas estão coerentes.

Resposta

v_0 \approx 30,76\\ \mathrm{m/s}
t \approx 3,00\\ \mathrm{s}

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