1. Uma bala de massa
    m
    é disparada contra um bloco de madeira de massa
    M
    que se encontra em repouso, na base de um plano inclinado de um ângulo
    \theta
    . A bala fica encravada no bloco e, o conjunto bala-bloco desliza uma distância
    L
    sobre o plano inclinado até parar no ponto B . O coeficiente de atrito entre o bloco e o plano inclinado vale
    1 / 2
    . O módulo da aceleração da gravidade local é
    g
    . Determine o módulo da velocidade inicial do projétil (
    v_{0}
    ) em função de
    \mathrm{m}, \mathrm{M}, L
    e
    g
    .

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações (vou listar tudo claramente):
  • Massa da bala: m.
  • Massa do bloco de madeira: M.
  • O bloco está inicialmente em repouso na base de um plano inclinado que forma um ângulo \theta com a horizontal.
  • A bala fica encravada no bloco (colisão completamente inelástica).
  • O conjunto bala+bloco desliza ao longo do plano inclinado e para após percorrer uma distância L (do ponto de impacto até o ponto B).
  • Coeficiente de atrito entre bloco e plano: \mu=\tfrac{1}{2}.
  • Aceleração da gravidade: g.
O que o enunciado pede:
  • Determinar o módulo da velocidade inicial da bala, v_{0}, em função das variáveis do problema.
Observação importante (apenas para não perder nada): a inclinação \theta aparece no enunciado e influencia o trabalho da gravidade e da força de atrito; portanto a expressão final depende de \theta além de m,M,L,g. A seguir vou resolver passo a passo usando os princípios necessários para chegar à fórmula de v_{0}.

Passo 2

Esquema do método (explicando por que): na colisão bala–bloco a energia cinética não é conservada (a bala fica encravada), mas a quantidade de movimento linear no instante da colisão, na direção do movimento, é conservada. Depois da colisão, o conjunto tem certa velocidade inicial ao subir o plano e sua energia cinética é dissipada pelo trabalho da força peso (componente ao longo do plano) e pelo atrito até parar. Portanto usaremos:
  1. Conservação do momento linear no instante da colisão para relacionar v_{0} com a velocidade inicial do conjunto após a colisão ( v').
  2. Teorema do trabalho-energia (energia cinética inicial do conjunto = trabalho realizado pelas forças dissipativas + variação de energia potencial) para relacionar v' com L, \theta, \mu e g.
Agora vamos aplicar esses dois passos com cuidado e escrever todas as fórmulas.

Passo 3

Conservação do momento linear na colisão inelástica:
  • Antes da colisão: momento linear total na direção do plano é p_{\text{antes}} = m v_{0} (o bloco está em repouso).
  • Depois da colisão: massa total é m+M com velocidade v' (na direção do plano). Então p_{\text{depois}} = (m+M) v'.
    Conservação do momento (não há impulsos externos relevantes durante o curto instante da colisão):
m v_{0} = (m+M) v'.
Isolando v':
v' = \frac{m}{m+M}\, v_{0}.
Explicação didática: a quantidade de movimento é um produto massa×velocidade. Numa colisão muito curta, forças externas (como peso e atrito) têm efeito desprezível sobre o impulso total no período, por isso usamos a conservação do momento. A velocidade v' é a velocidade comum logo após a colisão.

Passo 4

Energia cinética disponível após a colisão e trabalho das forças até parar:
  • Energia cinética inicial do conjunto imediatamente após a colisão:
K_{\text{inicial}} = \tfrac{1}{2}(m+M){v'}^{2}.
  • Trabalhos que retiram energia enquanto o conjunto sobe e para após distância L:
    1. A variação da energia potencial gravitacional ao subir a altura h = L\sin\theta é
    \Delta U = (m+M) g h = (m+M) g L \sin\theta.
    1. Trabalho da força de atrito (força de atrito cinético f_{\text{at}}=\mu N). A normal é N=(m+M)g\cos\theta, então
    f_{\text{at}} = \mu (m+M) g \cos\theta.O trabalho da atrito ao percorrer L é W_{\text{at}} = f_{\text{at}}\cdot L = \mu (m+M) g L \cos\theta.
  • Quando o bloco para, toda a energia cinética inicial foi dissipada para vencer o peso (aumentar potencial) e o atrito. Portanto, pela conservação de energia (ou teorema do trabalho-energia):
\tfrac{1}{2}(m+M){v'}^{2} = (m+M) g L \sin\theta + \mu (m+M) g L \cos\theta.
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por (m+M) (assumindo m+M\neq0):
\tfrac{1}{2} {v'}^{2} = g L \sin\theta + \mu g L \cos\theta.
ou
{v'}^{2} = 2 g L \big(\sin\theta + \mu \cos\theta\big).
Explicação didática: o lado esquerdo é a energia cinética que o conjunto tinha logo após a colisão. O lado direito é a soma das energias gastas para subir contra a gravidade (potencial) e para vencer o atrito. Igualando-obtemos quanta energia cinética era necessária para percorrer L até parar.

Passo 5

Substituir v' obtido pela conservação do momento (Passo 3) na expressão de energia (Passo 4) e resolver para v_{0}.
Da Passo 3, v' = \dfrac{m}{m+M} v_{0}. Substituindo em {v'}^{2} = 2 g L \big(\sin\theta + \mu \cos\theta\big):
\left(\frac{m}{m+M} v_{0}\right)^{2} = 2 g L \big(\sin\theta + \mu \cos\theta\big).
Isolando v_{0}^{2}:
v_{0}^{2} = \left(\frac{m+M}{m}\right)^{2} \, 2 g L \big(\sin\theta + \mu \cos\theta\big).
Tomando raiz positiva (módulo da velocidade):
v_{0} = \frac{m+M}{m}\,\sqrt{2 g L \big(\sin\theta + \mu \cos\theta\big)}.
Explicação: a raiz positiva porque pedem o módulo da velocidade. A razão \dfrac{m+M}{m} aparece porque a bala transferiu parte de sua velocidade para o bloco (a massa combinada é maior), então a bala precisa vir com velocidade maior para dar ao conjunto a energia cinética necessária.

Passo 6

Substituir o valor numérico dado do coeficiente de atrito \mu=\tfrac{1}{2}. Assim:
v_{0} = \frac{m+M}{m}\,\sqrt{2 g L \Big(\sin\theta + \tfrac{1}{2}\cos\theta\Big)}.
Comentário final e incentivo: pronto — esse é o resultado direto e bem interpretável. Se quiser, dá para verificar limites: por exemplo, se M\to0 (bloco leve), \dfrac{m+M}{m}\to1 e v_{0} reduz à velocidade necessária para percorrer L com as resistências do plano; se L aumenta, v_{0} cresce como \sqrt{L}. Você está indo bem — continue praticando com variações (mudar \mu, \theta, ou considerar ausência de atrito) para fixar a ideia.

Resposta

v_{0} = \frac{m+M}{m}\,\sqrt{2 g L \Big(\sin\theta + \tfrac{1}{2}\cos\theta\Big)}

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