- Uma bala de massa
m
é disparada contra um bloco de madeira de massa
M
que se encontra em repouso, na base de um plano inclinado de um ângulo
\theta
. A bala fica encravada no bloco e, o conjunto bala-bloco desliza uma distância
L
sobre o plano inclinado até parar no ponto B . O coeficiente de atrito entre o bloco e o plano inclinado vale
1 / 2
. O módulo da aceleração da gravidade local é
g
. Determine o módulo da velocidade inicial do projétil (
v_{0}
) em função de
\mathrm{m}, \mathrm{M}, L
e
g
.
m
é disparada contra um bloco de madeira de massa
M
que se encontra em repouso, na base de um plano inclinado de um ângulo
\theta
. A bala fica encravada no bloco e, o conjunto bala-bloco desliza uma distância
L
sobre o plano inclinado até parar no ponto B . O coeficiente de atrito entre o bloco e o plano inclinado vale
1 / 2
. O módulo da aceleração da gravidade local é
g
. Determine o módulo da velocidade inicial do projétil (
v_{0}
) em função de
\mathrm{m}, \mathrm{M}, L
e
g
.
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações (vou listar tudo claramente):
- Massa da bala:
. - Massa do bloco de madeira:
. - O bloco está inicialmente em repouso na base de um plano inclinado que forma um ângulo
com a horizontal. - A bala fica encravada no bloco (colisão completamente inelástica).
- O conjunto bala+bloco desliza ao longo do plano inclinado e para após percorrer uma distância
(do ponto de impacto até o ponto ). - Coeficiente de atrito entre bloco e plano:
. - Aceleração da gravidade:
.
O que o enunciado pede:
- Determinar o módulo da velocidade inicial da bala,
, em função das variáveis do problema.
Observação importante (apenas para não perder nada): a inclinação
aparece no enunciado e influencia o trabalho da gravidade e da força de atrito; portanto a expressão final depende de
além de
. A seguir vou resolver passo a passo usando os princípios necessários para chegar à fórmula de
.
Passo 2
Esquema do método (explicando por que): na colisão bala–bloco a energia cinética não é conservada (a bala fica encravada), mas a quantidade de movimento linear no instante da colisão, na direção do movimento, é conservada. Depois da colisão, o conjunto tem certa velocidade inicial ao subir o plano e sua energia cinética é dissipada pelo trabalho da força peso (componente ao longo do plano) e pelo atrito até parar. Portanto usaremos:
- Conservação do momento linear no instante da colisão para relacionar
com a velocidade inicial do conjunto após a colisão ( ). - Teorema do trabalho-energia (energia cinética inicial do conjunto = trabalho realizado pelas forças dissipativas + variação de energia potencial) para relacionar
com , , e .
Agora vamos aplicar esses dois passos com cuidado e escrever todas as fórmulas.
Passo 3
Conservação do momento linear na colisão inelástica:
- Antes da colisão: momento linear total na direção do plano é
(o bloco está em repouso). - Depois da colisão: massa total é
com velocidade (na direção do plano). Então .
Conservação do momento (não há impulsos externos relevantes durante o curto instante da colisão):
Isolando
:
Explicação didática: a quantidade de movimento é um produto massa×velocidade. Numa colisão muito curta, forças externas (como peso e atrito) têm efeito desprezível sobre o impulso total no período, por isso usamos a conservação do momento. A velocidade
é a velocidade comum logo após a colisão.
Passo 4
Energia cinética disponível após a colisão e trabalho das forças até parar:
- Energia cinética inicial do conjunto imediatamente após a colisão:
- Trabalhos que retiram energia enquanto o conjunto sobe e para após distância
: - A variação da energia potencial gravitacional ao subir a altura
é
- Trabalho da força de atrito (força de atrito cinético
). A normal é , então
O trabalho da atrito ao percorrer é - A variação da energia potencial gravitacional ao subir a altura
- Quando o bloco para, toda a energia cinética inicial foi dissipada para vencer o peso (aumentar potencial) e o atrito. Portanto, pela conservação de energia (ou teorema do trabalho-energia):
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por
(assumindo
):
ou
Explicação didática: o lado esquerdo é a energia cinética que o conjunto tinha logo após a colisão. O lado direito é a soma das energias gastas para subir contra a gravidade (potencial) e para vencer o atrito. Igualando-obtemos quanta energia cinética era necessária para percorrer
até parar.
Passo 5
Substituir
obtido pela conservação do momento (Passo 3) na expressão de energia (Passo 4) e resolver para
.
Da Passo 3,
. Substituindo em
:
Isolando
:
Tomando raiz positiva (módulo da velocidade):
Explicação: a raiz positiva porque pedem o módulo da velocidade. A razão
aparece porque a bala transferiu parte de sua velocidade para o bloco (a massa combinada é maior), então a bala precisa vir com velocidade maior para dar ao conjunto a energia cinética necessária.
Passo 6
Substituir o valor numérico dado do coeficiente de atrito
. Assim:
Comentário final e incentivo: pronto — esse é o resultado direto e bem interpretável. Se quiser, dá para verificar limites: por exemplo, se
(bloco leve),
e
reduz à velocidade necessária para percorrer
com as resistências do plano; se
aumenta,
cresce como
. Você está indo bem — continue praticando com variações (mudar
,
, ou considerar ausência de atrito) para fixar a ideia.