(a) Qual é o módulo do momento linear de um caminhão de 10000 kg que se desloca com velocidade de 12 \mathrm{~m} / \mathrm{s} ? (b) Qual o impulso necessário para retirá-lo do repouso e imprimir-lhe a velocidade de 12 \mathrm{m} / \mathrm{s} ? Qual deve ser a velocidade de um carro esportivo de 2000 kg para que ele tenha (c) o mesmo momento linear do caminhão? (d) a mesma energia cinética do caminhão?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e os dados que ele fornece.
  • Perguntas do enunciado:
    (a) Qual é o módulo do momento linear do caminhão?
    (b) Qual o impulso necessário para tirá‑lo do repouso e imprimir-lhe 12\\ \mathrm{m/s}?
    (c) Qual deve ser a velocidade de um carro esportivo de 2000\\ \mathrm{kg} para ter o mesmo momento linear do caminhão?
    (d) Qual deve ser a velocidade do mesmo carro para ter a mesma energia cinética do caminhão?
  • Dados fornecidos:
    • massa do caminhão: m_{\mathrm{caminhão}} = 10000\\ \mathrm{kg}ã.
    • velocidade do caminhão: v_{\mathrm{caminhão}} = 12\\ \mathrm{m/s}ã.
    • massa do carro esportivo: m_{\mathrm{carro}} = 2000\\ \mathrm{kg}.

Passo 2

Entendendo o momento linear (ou quantidade de movimento). O momento linear de um corpo é definido por:
\vec p = m\,\vec v,
onde:
  • m é a massa do corpo (em \mathrm{kg});
  • \vec v é a velocidade vetorial (em \mathrm{m/s});
  • \vec p é o momento linear vetorial (em \mathrm{kg\cdot m/s}).
O enunciado pede o módulo do momento linear (ou seja, o valor absoluto, sem considerar direção). Para um movimento retilíneo e velocidade positiva, o módulo é:
p = m\,v.
Vamos aplicar isso ao caminhão.

Passo 3

Cálculo do momento linear do caminhão (parte a).
  • Substituindo m_{\mathrm{caminhão}} = 10000\\ \mathrm{kg}ã e v_{\mathrm{caminhão}} = 12\\ \mathrm{m/s}ã:
p_{\mathrm{caminhão}} = 10000 \times 12.ã
  • Fazendo a multiplicação passo a passo:
10000 \times 12 = 10000 \times (10 + 2) = 10000\cdot 10 + 10000\cdot 2 = 100000 + 20000 = 120000.
  • Portanto:
p_{\mathrm{caminhão}} = 120000\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.ã
Também é comum escrever em notação científica:
p_{\mathrm{caminhão}} = 1{,}2\times 10^{5}\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.ã

Passo 4

Entendendo impulso (parte b). O impulso \vec J é definido como a variação do momento linear:
\vec J = \Delta \vec p = \vec p_{\text{final}} - \vec p_{\text{inicial}}.
Unidade do impulso: \mathrm{N\cdot s} (que é dimensionalmente igual a \mathrm{kg\cdot m/s}). Há também a relação com força e intervalo de tempo:
\vec J = \int_{t_1}^{t_2} \vec F(t)\,dt \approx \vec F\,\Delta t
se a força for aproximadamente constante.
No caso pedido: tirar do repouso e imprimir 12\\ \mathrm{m/s} significa que a velocidade inicial é zero e a final é 12\\ \mathrm{m/s}. Então a variação de momento é igual ao momento final calculado no passo anterior.

Passo 5

Cálculo do impulso necessário (parte b).
  • Momento inicial: \vec p_{\text{inicial}} = 0 (repouso).
  • Momento final: \vec p_{\text{final}} = p_{\mathrm{caminhão}} = 120000\\ \mathrm{kg\cdot m/s}ã.
  • Assim:
J = \Delta p = p_{\text{final}} - p_{\text{inicial}} = 120000 - 0 = 120000\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
  • Em unidades de impulso:
J = 120000\\ \mathrm{N\cdot s} = 1{,}2\times 10^{5}\\ \mathrm{N\cdot s}.

Passo 6

Entendendo a parte (c): mesmo momento linear para o carro de massa 2000\\ \mathrm{kg}. Se o carro deve ter o mesmo momento do caminhão, então
p_{\mathrm{carro}} = m_{\mathrm{carro}}\,v_{\mathrm{carro}} = p_{\mathrm{caminhão}}.ã
Isolando v_{\mathrm{carro}}:
v_{\mathrm{carro}} = \frac{p_{\mathrm{caminhão}}}{m_{\mathrm{carro}}}.ã

Passo 7

Cálculo da velocidade do carro para igualar o momento (parte c).
  • Substituindo p_{\mathrm{caminhão}} = 120000\\ \mathrm{kg\cdot m/s}ã e m_{\mathrm{carro}} = 2000\\ \mathrm{kg}:
v_{\mathrm{carro}} = \frac{120000}{2000}.
  • Fazendo a divisão:
\frac{120000}{2000} = \frac{120}{2} = 60.
  • Portanto:
v_{\mathrm{carro}} = 60\\ \mathrm{m/s}.
(Para ter uma ideia prática, 60\\ \mathrm{m/s} corresponde a 60\times 3{,}6 = 216\\ \mathrm{km/h}, mas a unidade pedida é \mathrm{m/s}.)

Passo 8

Entendendo a energia cinética (parte d). A energia cinética de um corpo em movimento é dada por:
K = \tfrac{1}{2}\,m\,v^{2},
onde:
  • K é a energia cinética (em joules, \mathrm{J});
  • m é a massa (em \mathrm{kg});
  • v é a velocidade (em \mathrm{m/s}).
Primeiro calculamos a energia cinética do caminhão e depois pedimos que a energia cinética do carro seja igual a essa, resolvendo para a velocidade do carro.

Passo 9

Cálculo da energia cinética do caminhão.
  • Aplicando a fórmula com m_{\mathrm{caminhão}} = 10000\\ \mathrm{kg}ã e v_{\mathrm{caminhão}} = 12\\ \mathrm{m/s}ã:
K_{\mathrm{caminhão}} = \tfrac{1}{2}\times 10000 \times 12^{2}.ã
  • Calcular 12^{2}:
12^{2} = 144.
  • Então:
K_{\mathrm{caminhão}} = \tfrac{1}{2}\times 10000 \times 144 = 5000 \times 144.ã
  • Multiplicando:
5000 \times 144 = 5000 \times (100 + 40 + 4) = 500000 + 200000 + 20000 = 720000.
  • Logo:
K_{\mathrm{caminhão}} = 720000\\ \mathrm{J}.ã

Passo 10

Determinar a velocidade do carro para ter a mesma energia cinética (parte d).
  • Igualando energias:
\tfrac{1}{2}\,m_{\mathrm{carro}}\,v_{\mathrm{carro}}^{2} = K_{\mathrm{caminhão}}.ã
  • Substituindo m_{\mathrm{carro}} = 2000\\ \mathrm{kg} e K_{\mathrm{caminhão}} = 720000\\ \mathrm{J}ã:
\tfrac{1}{2}\times 2000 \times v_{\mathrm{carro}}^{2} = 720000.
  • Simplificando o fator \tfrac{1}{2}\times 2000 = 1000:
1000\,v_{\mathrm{carro}}^{2} = 720000.
  • Isolando v_{\mathrm{carro}}^{2}:
v_{\mathrm{carro}}^{2} = \frac{720000}{1000} = 720.
  • Portanto:
v_{\mathrm{carro}} = \sqrt{720}.
  • Simplificando a raiz: 720 = 144\times 5, então
v_{\mathrm{carro}} = \sqrt{144\times 5} = 12\sqrt{5}.
  • Valor numérico aproximado (rápido):
\sqrt{5}\approx 2{,}2360679\quad\Rightarrow\quad v_{\mathrm{carro}}\approx 12\times 2{,}2360679 \approx 26{,}8328.
  • Arredondando para duas casas decimais:
v_{\mathrm{carro}} \approx 26{,}83\\ \mathrm{m/s}.
(Em km/h isso daria aproximadamente 26{,}83\times 3{,}6 \approx 96{,}6\\ \mathrm{km/h}, apenas para referência.)

Resposta

(a) p_{\mathrm{caminhão}} = 1{,}2\times 10^{5}\\ \mathrm{kg\cdot m/s}ã
(b) J = 1{,}2\times 10^{5}\\ \mathrm{N\cdot s}
(c) v_{\mathrm{carro}} = 60\\ \mathrm{m/s}
(d) v_{\mathrm{carro}} = 12\sqrt{5}\\ \mathrm{m/s} \approx 26{,}83\\ \mathrm{m/s}

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