Uma escada para fuga de incêndio de comprimento L e peso P encontra-se em equilíbrio, apoiada em uma calçada e o seu topo é mantido preso a um pivô. O atrito entre a base da escada e a calçada é desprezível. O centro de gravidade da escada coincide com o seu centro geométrico. A uma distância L / 3 da base da escada encontra-se um bombeiro de peso 3 P. A escada faz um ângulo \theta com a horizontal. Determine o módulo, a direção e o sentido da força exercida sobre a escada
pela calçada
pela calçada
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Determinar o módulo, a direção e o sentido da força que a calçada (o chão) exerce sobre a escada.
Informações dadas (peguei alguns desses dados da figura):
- A escada tem comprimento
e peso . - O centro de gravidade da escada coincide com o centro geométrico (ou seja, o peso
age no ponto médio da escada, a uma distância da base). - Um bombeiro de peso
está sobre a escada a uma distância da base (peguei essa posição da imagem). - O topo da escada está preso a um pivô fixo na parede; o contato no topo pode exercer forças (reação do pivô).
- O atrito entre a base da escada e a calçada é desprezível (peguei isso do enunciado e da figura).
- A escada faz um ângulo
com a horizontal (peguei indicado na figura).
Resumo do objetivo: calcular a força da calçada sobre a escada (isto é, a reação no ponto de contato com o solo), indicando seu módulo, direção e sentido.
Passo 2
Fazer o diagrama de forças e entender quais forças atuam:
- Peso da escada: força vertical para baixo de módulo
, aplicada no ponto médio (distância da base, medida ao longo da escada). - Peso do bombeiro: força vertical para baixo de módulo
, aplicada a uma distância da base (medida ao longo da escada). - Reação da calçada na base: chamaremos
. Como o atrito é desprezível e o chão é horizontal, a reação do solo é perpendicular ao chão, isto é, vertical. Portanto é vertical (para cima ou para baixo — vamos ver que sentido). - Reação do pivô no topo: tem componentes horizontal
e vertical . Não conhecemos essas componentes e não precisamos calculá‑las se usarmos o torque em torno do pivô.
Observação didática rápida sobre normal/fricção:
- “Normal” é a força que a superfície aplica perpendicularmente. Se não há atrito, a superfície não aplica força tangencial. Aqui, chão horizontal + sem atrito → reação somente vertical.
Passo 3
Condições de equilíbrio (estáticas) que vamos usar:
- Soma das forças verticais = 0:
(isto é,
.)
- Soma das forças horizontais = 0:
(no ponto da base não há força horizontal porque o atrito é desprezível).
- Soma dos torques (momentos) = 0. Escolhemos o pivô no topo como ponto para tomar momentos porque assim as duas componentes
do pivô não contribuem (braço nulo), simplificando muito o cálculo.
Explicação didática sobre torque/momento:
- O momento de uma força em relação a um ponto é dado por
, onde o braço perpendicular é a distância entre o ponto e a linha de ação da força medida perpendicularmente. - Para forças verticais aplicadas em pontos sobre a escada, esse braço perpendicular em relação ao pivô é a projeção horizontal da distância entre o pivô e o ponto de aplicação, que é o comprimento ao longo da escada multiplicado por
.
Passo 4
Calcular momentos (torques) em relação ao pivô (tomando momento positivo no sentido anti-horário e negativo no horário, ou vice‑versa — aqui farei: somar torques com sinais coerentes e igualar a zero).
Primeiro, determinar as distâncias desde o pivô até cada força, medidas ao longo da escada e suas projeções horizontais:
- Distância (ao longo da escada) do pivô até a base =
. A projeção horizontal é . - Distância do pivô até o centro da escada (onde age
) = . A projeção horizontal é . - Distância do pivô até o bombeiro (posição medida a partir da base
) = . A projeção horizontal é .
Agora os momentos produzidos por cada força (todas as forças de peso são verticais para baixo):
- Momento devido ao peso da escada
: magnitude . Esse momento tende a girar a escada no sentido horário com respeito ao pivô (vamos considerar horário positivo para soma — qualquer convenção serve, desde que consistente). - Momento devido ao bombeiro
: magnitude . Também tende a girar no mesmo sentido horário. - Momento devido à reação do solo
(força vertical para cima): magnitude . Essa força produz momento no sentido oposto (anti-horário) em relação ao pivô.
Escrevendo a condição de soma de torques = 0 (momento anti-horário positivo minus horário = 0), ou simplesmente equilibrando momentos anti-horário e horário:
Passo 5
Resolver a equação dos momentos passo a passo (fatorando termos comuns):
Calcule os termos do lado direito:
Somando:
Logo a equação fica:
Como
é diferente de zero (comprimento e ângulo não nulos), podemos cancelar
dos dois lados, obtendo:
Passo 6
Interpretação final e verificação com as equações de força:
- Encontramos que a força vertical da calçada sobre a escada é
dirigida para cima (sentido oposto aos pesos). - Isso faz sentido: somando forças verticais para verificar, teríamos
, então . Ou seja, o pivô fornece a componente vertical restante; não precisamos do valor de para responder a pergunta, mas é coerente que o pivô também suporte parte do peso. - Direção: vertical (perpendicular ao chão).
- Sentido: para cima (a calçada empurra a escada para cima para equilibrar os pesos).
Pequena nota prática: o resultado não depende de
— isso acontece porque todas as forças verticais têm braços proporcionais a
, que se cancelam na equação dos momentos.