O balanceamento de equações químicas é uma aplicação direta de sistemas lineares: a Lei de Conservação de Massa exige que o número de átomos de cada elemento seja o mesmo nos reagentes e nos produtos. Para cada elemento presente na reação, escreve-se uma equação igualando a quantidade de átomos desse elemento nos dois lados, gerando uma equação linear nos coeficientes estequiométricos desconhecidos. Como a reação tem mais incógnitas do que elementos, fixa-se um coeficiente arbitrariamente e resolve-se o restante. Para a combustão do propano:
Fixando x_{1}=1, determine x_{2}, x_{3} e x_{4} e verifique se o resultado coincide com a equação balanceada conhecida: \mathrm{C}_{3} \mathrm{H}_{8}+5 \mathrm{O}_{2} \rightarrow 3 \mathrm{CO}_{2}+4 \mathrm{H}_{2} \mathrm{O}.
(32) Observação: Claro que no exemplo dado o balanceamento pode ser feito de forma mais direta, sem resolver um sistema, por ser um caso simples. O objetivo aqui é só exemplificar como sistemas lineares podem ser usados caso seja um balanceamento mais complexo.
Passo 1
O enunciado dá a reação com incógnitas estequiométricas e as equações de conservação de átomos:
O enunciado nos pede: fixando x_{1}=1, determinar x_{2}, x_{3} e x_{4} e verificar se o resultado coincide com a equação balanceada conhecida \mathrm{C}_{3}\mathrm{H}_{8}+5\mathrm{O}_{2}\rightarrow 3\mathrm{CO}_{2}+4\mathrm{H}_{2}\mathrm{O}.]
Passo 2
Entender o sentido físico de cada equação (isto ajuda a montar/checar as equações numa prova):
A primeira equação, 3x_{1}-x_{3}=0, iguala o número de átomos de carbono: à esquerda há 3 carbonos por molécula de \mathrm{C}_{3}\mathrm{H}_{8} multiplicados por x_{1}; à direita cada \mathrm{CO}_{2} tem 1 carbono, então há x_{3} carbonos.
A segunda equação, 8x_{1}-2x_{4}=0, iguala o número de hidrogênios: 8 hidrogênios por \mathrm{C}_{3}\mathrm{H}_{8} vezes x_{1} à esquerda e 2 hidrogênios por \mathrm{H}_{2}\mathrm{O} vezes x_{4} à direita.
A terceira, 2x_{2}-2x_{3}-x_{4}=0, iguala os oxigênios: cada \mathrm{O}_{2} traz 2 oxigênios (à esquerda 2x_{2}); à direita cada \mathrm{CO}_{2} traz 2 oxigênios e cada \mathrm{H}_{2}\mathrm{O} traz 1, total 2x_{3}+x_{4}.
Passo 3
Resolver as duas primeiras equações para expressar x_{3} e x_{4} em função de x_{1}.
Operações usadas: multiplicação simples e divisão por 2.
Passo 6
Interpretar o resultado e comentar sobre escala: encontramos com x_{1}=1 os valores x_{2}=5, x_{3}=3 e x_{4}=4. De forma geral, por linearidade, a solução geral é
com t qualquer escalar positivo. Isso mostra que os coeficientes estequiométricos são únicos até um fator multiplicativo; na prática escolhe-se o menor t que torna todos inteiros positivos, aqui t=1. Portanto a equação balanceada obtida é