O balanceamento de equações químicas é uma aplicação direta de sistemas lineares: a Lei de Conservação de Massa exige que o número de átomos de cada elemento seja o mesmo nos reagentes e nos produtos. Para cada elemento presente na reação, escreve-se uma equação igualando a quantidade de átomos desse elemento nos dois lados, gerando uma equação linear nos coeficientes estequiométricos desconhecidos. Como a reação tem mais incógnitas do que elementos, fixa-se um coeficiente arbitrariamente e resolve-se o restante. Para a combustão do propano:
x_{1} \mathrm{C}_{3} \mathrm{H}_{8}+x_{2} \mathrm{O}_{2} \longrightarrow x_{3} \mathrm{CO}_{2}+x_{4} \mathrm{H}_{2} \mathrm{O}
a conservação de C, H e O fornece, respectivamente:
\left\{\begin{aligned} 3 x_{1}-x_{3} & =0 \\\\ 8 x_{1}-2 x_{4} & =0 \\\\ 2 x_{2}-2 x_{3}-x_{4} & =0 \end{aligned}\right.
Fixando x_{1}=1, determine x_{2}, x_{3} e x_{4} e verifique se o resultado coincide com a equação balanceada conhecida: \mathrm{C}_{3} \mathrm{H}_{8}+5 \mathrm{O}_{2} \rightarrow 3 \mathrm{CO}_{2}+4 \mathrm{H}_{2} \mathrm{O}.
(32) Observação: Claro que no exemplo dado o balanceamento pode ser feito de forma mais direta, sem resolver um sistema, por ser um caso simples. O objetivo aqui é só exemplificar como sistemas lineares podem ser usados caso seja um balanceamento mais complexo.

Passo 1

O enunciado dá a reação com incógnitas estequiométricas e as equações de conservação de átomos:
x_{1}\mathrm{C}_{3}\mathrm{H}_{8}+x_{2}\mathrm{O}_{2}\longrightarrow x_{3}\mathrm{CO}_{2}+x_{4}\mathrm{H}_{2}\mathrm{O}
e as equações
\begin{cases} 3x_{1}-x_{3}=0\\[4pt] 8x_{1}-2x_{4}=0\\[4pt] 2x_{2}-2x_{3}-x_{4}=0 \end{cases}
O enunciado nos pede: fixando x_{1}=1, determinar x_{2}, x_{3} e x_{4} e verificar se o resultado coincide com a equação balanceada conhecida \mathrm{C}_{3}\mathrm{H}_{8}+5\mathrm{O}_{2}\rightarrow 3\mathrm{CO}_{2}+4\mathrm{H}_{2}\mathrm{O}.]

Passo 2

Entender o sentido físico de cada equação (isto ajuda a montar/checar as equações numa prova):
  • A primeira equação, 3x_{1}-x_{3}=0, iguala o número de átomos de carbono: à esquerda há 3 carbonos por molécula de \mathrm{C}_{3}\mathrm{H}_{8} multiplicados por x_{1}; à direita cada \mathrm{CO}_{2} tem 1 carbono, então há x_{3} carbonos.
  • A segunda equação, 8x_{1}-2x_{4}=0, iguala o número de hidrogênios: 8 hidrogênios por \mathrm{C}_{3}\mathrm{H}_{8} vezes x_{1} à esquerda e 2 hidrogênios por \mathrm{H}_{2}\mathrm{O} vezes x_{4} à direita.
  • A terceira, 2x_{2}-2x_{3}-x_{4}=0, iguala os oxigênios: cada \mathrm{O}_{2} traz 2 oxigênios (à esquerda 2x_{2}); à direita cada \mathrm{CO}_{2} traz 2 oxigênios e cada \mathrm{H}_{2}\mathrm{O} traz 1, total 2x_{3}+x_{4}.

Passo 3

Resolver as duas primeiras equações para expressar x_{3} e x_{4} em função de x_{1}.
Da primeira:
3x_{1}-x_{3}=0 \quad\Rightarrow\quad x_{3}=3x_{1}.
Explicação: somo x_{3} nos dois lados e divido por 1, é uma operação linear simples.
Da segunda:
8x_{1}-2x_{4}=0 \quad\Rightarrow\quad 2x_{4}=8x_{1}\quad\Rightarrow\quad x_{4}=4x_{1}.
Explicação: isolei x_{4} dividindo por 2.

Passo 4

Agora usamos a hipótese dada no enunciado: fixar x_{1}=1. Substituindo nas expressões obtidas:
x_{3}=3x_{1}=3\cdot 1=3,
x_{4}=4x_{1}=4\cdot 1=4.
Isto já nos dá x_{3}=3 e x_{4}=4.

Passo 5

Determinar x_{2} usando a terceira equação e as x_{3},x_{4} que encontramos. A terceira equação é
2x_{2}-2x_{3}-x_{4}=0.
Substituindo x_{3}=3 e x_{4}=4:
2x_{2}-2\cdot 3-4=0 \quad\Rightarrow\quad 2x_{2}-6-4=0 \quad\Rightarrow\quad 2x_{2}-10=0.
Isolando x_{2}:
2x_{2}=10 \quad\Rightarrow\quad x_{2}=5.
Operações usadas: multiplicação simples e divisão por 2.

Passo 6

Interpretar o resultado e comentar sobre escala: encontramos com x_{1}=1 os valores x_{2}=5, x_{3}=3 e x_{4}=4. De forma geral, por linearidade, a solução geral é
x_{1}=t,\qquad x_{2}=5t,\qquad x_{3}=3t,\qquad x_{4}=4t,
com t qualquer escalar positivo. Isso mostra que os coeficientes estequiométricos são únicos até um fator multiplicativo; na prática escolhe-se o menor t que torna todos inteiros positivos, aqui t=1. Portanto a equação balanceada obtida é
\mathrm{C}_{3}\mathrm{H}_{8}+5\mathrm{O}_{2}\rightarrow 3\mathrm{CO}_{2}+4\mathrm{H}_{2}\mathrm{O},
que coincide com a equação dada no enunciado.

Passo 7

Verificação final contando átomos (cheque rápido que costuma cair na prova):
  • Carbono: à esquerda 3\cdot x_{1}=3\cdot 1=3. À direita 1\cdot x_{3}=3. OK.
  • Hidrogênio: à esquerda 8\cdot x_{1}=8. À direita 2\cdot x_{4}=2\cdot 4=8. OK.
  • Oxigênio: à esquerda 2\cdot x_{2}=2\cdot 5=10. À direita 2\cdot x_{3}+1\cdot x_{4}=2\cdot 3+4=10. OK.
Tudo confere — excelente! Respire fundo, você tirou isso numa boa.

Resposta

x_{2}=5
x_{3}=3
x_{4}=4
\mathrm{C}_{3}\mathrm{H}_{8}+5\mathrm{O}_{2}\rightarrow 3\mathrm{CO}_{2}+4\mathrm{H}_{2}\mathrm{O}

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